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一、证明题

1． （伯恩斯坦大数定律）设有

【答案】记有

所以

由的任意性知

所以由马尔可夫大数定律知

2． 令【答案】

3． 试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性:若随机变量与Y 独立，则

【答案】因为

所以由X 与Y 的独立性得这正是伽玛分布

4． 设随机向量

【答案】记标准化变量为

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是方差一致有界的随机变量序列，且当服从大数定律.

任对

存在

当

时，一致地

时，

证明:

服从大数定律.

的随机变量，试证明:

表示服从二项分布

且X

的特征函数，由唯一性定理知间的相关系数分别为

证明:

因为考虑到

故

所以

的协方差阵的行列式为

再由协方差阵的非负定性，可得

移项即得结论.

5． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性:若随机变量独立， 则

【答案】记这正是二项分布

因为

的特征函数，由唯一性定理知

若

其中

则

而

7． 设

正是泊松分布的特征函数，故得证.

是来自

的样本，

为其次序统计量，令

证明【答案】令作变换

相互独立.

则

的联合密度函数为

且X 与Y

所以由X 与Y 的独立性得

6． 利用特征函数方法证明如下的泊松定理:设有一列二项分布

则

【答案】二项分布因为

所以当

的特征函数为

时，

其中

联合密度函数为

其雅可比行列式绝对值为

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该联合密度函数为可分离变量，因而

相互独立，且

8． 试分别设计一个概率模型问题，用其解答证明以下恒等式

（1）（2）（3）

【答案】设计如下的试验，计算相应的概率，即可证得相应的恒等式.

（1）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，不放回. 试求迟早取到白球的概率. 因为袋中N 个球中只有m 个白球，在不放回抽样场合，可能第1次抽到白球，或第2次抽到白球，……，或最迟在N —m+1次必取到白球，若记P k 为第k 次取到白球的概率，则有

且

即

对上式两边同乘N/m即得（1）. 而（2）（3）两个等式可在如下设计的试验中获得证实. （2）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，若取出白球，则放回；若取出的不是白球，则换一个白球放回. 试求迟早取到白球的概率.

（3）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球后放回，若取出的不是白球，则不仅放回，且追加一个白球进去. 试求迟早取到白球的概率.

9． 若事件A 与B 互不相容，且，证明:

【答案】

10．已知某商场一天来的顾客数X 服从参数为的泊松分布，而每个来到商场的顾客购物的概率为p , 证明:此商场一天内购物的顾客数服从参数为

的泊松分布.

【答案】用Y 表示商场一天内购物的顾客数，则由全概率公式知，对任意正整数k 有

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