当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设

在

上连续，且

证明则

则取；

则

因

上的光滑函数，且

为f 的傅里叶级数

【答案】因为f

为又

故

即

上的光滑函数，所以f (x ) 在

上有连续的导函数

为f 的导函数的

即

2． 设f 为傅里叶系数，证明

则

故由零点存在定理知，存

在

使

得

使，上连续，

因

故

【答案】

作

(1) 若(2)

若

二、解答题

3． 设

其中A ，a ，b 为常数，试问A ，a , b 为何值时，

第 2 页，共 25 页

处可导? 为什么？并求

【答案】.

故要使

又

要使有导数存在，必须b=0.

综上可知，当A=b=0为任意常数时，f （x ）在z=0处可导，且

4． 试作适当变换，把下列二重积分为单重积分：

其中

其中

【答案】(1) 经过极坐标变换后

存在，必须A=0.

其中D 为圆域：

，其中

(2) 积分区域D 如图1 所示，由它的对称性及被积函数关于x 和关于y 都是偶函数，知积分值等于4 倍的第一象限部分有

所以

上的积分值，其中

，应用极坐标变换，

图1

(3)

令

所以

(4) 令

则

原积分区域(如图2) 变换成

第 3 页，共 25 页

则原积分区域变换

成

所以

图 2

5． 设

(1) (2)

连接连接

为连续函数，试就如下曲线：

的直线段；

三点的三角形(逆时针方向) ，

计算下列曲线积分：

【答案】曲线如图所示，

图

(1) 直线段

的方程

(2)

第 4 页，共 25 页

所以