2017年福州大学数学与计算机科学学院611数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 若在
上连续可微，则存在
上连续可微的增函数g 和连续可微的减函数h ，使得
上连续可微，所以
在上连续. 令
因此
，
2． 设f (x ) 是区间
使得
(1) (2)
恰好是
是或
当当
时，取时，取
且
重复上述过程：若对任意
或有
或者存在
此时，因为假如
即所以
的
由于矛盾.
并且
有
是
在
上的最小值
是
在上
最大值.
且
递増有上界
且
使
使
递减有下界，所以存在
是连续函数，可以推出
使
这样再重复上述过程，得到
有时，
取
此时结论成立.
【答案】因为
在若对任
意
则有则有
则结论成立. 否则，即存在点
有
且当
有
时，
取
使得
使得
即总存在
上的最大、最小值(最小、最大值) . 上一个非常数的连续函数，所以
有
设
使
则结论成立. 否则，即存在
点
与
取
在并且
上连续，从而是可积的
且是増函数，
是减函数。
所
以
【答案】因为
在
上的一个非常数的连续函数，M ，m 分别是最大、最小值，求证：
存在
3． 设f 为定义在R 上以h 为周期的函数，a 为实数. 证明：若f 在有界.
【答案】因为f (x ) 在得
4． 证明：
(1) 无穷积分(2) 无穷积分
【答案】利用级数法. (1) 原积分：
发散； 收敛.
于
是
故f (x ) 在R 上有界.
上有界，所以存在M>0, 使得对任意
对于任意
即
I 上有界，则f 在R 上
有
正
数h 的所有整数倍从小到大依次为：必存在惟一整数k ，使
由于h 是f 的周期，因
而
而
当
时有
故
由
发散，可知
发散，从而原积分发散.
(2) 类似于(1) , 有原积分而
当
时利用不等式
有
故
由
5． 设f 在区间I 上有界，记
【答案】对任意的
即
故
设为任意正数，则存在于是有
故
6． 证明数列
【答案】显然
设即
有上界
解得
7． 证明：任一实系数奇次方程至少有一个实根.
【答案】设有一个奇次方程为则
收敛，可知收敛. 同理可证收敛，从而收敛. 由此可知，原积分收敛. 证明
有于是有
使得
的极限存在，并求其值.
下证
有上界
.
则
的极限存在，设
在
中，令
•得
由单调有界定理，
其中
设令