2017年复旦大学管理学院725高等数学考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设f 在明：
存在一点
使得
【答案】由连续函数的最大、最小值定理知为m , 最大值为M. 于是
由
和
在
上有最小值和最大值. 设其最小值
得
由介值性定理知，存在
2． 证明：若T' 是T 增加若干个分点后所得的分割，
则
【答案】设T 增加p 个分点得到到
所以我们只需证但T 的其他小区间
的情形。
与的各
两项. 又因函数在
即
就有
这里
故
仍旧是新分割
所属的小区间，因此，比较一项换为后者中的
故
将p 个新分点同时添加到T ，和逐个添加到T , 都同样得
使得
上连续
另有一组正数
满足
证
在T 上添加一个新分点，它必落在T 的某一小区间内，而且将分为两个小区间，记作
个被加项，它们之间的差别仅仅是前者中的
子区间上的振幅总是小于其在区间上的振幅，即有
一般的，对t 增加一个分点得到
二、解答题
3． 设用某仪器进行测量时，读得n 次实验数据为值，才能使它与这n 个数之差的平方和为最小。
【答案】x 与这n 个数之差的平方和为
又因
故
于是
由
得
问以怎样的数值x 表达所要测量的真
为最小值点，因此x 为的算术平均值时，它与
这n 个数之差的平方和为最小。
4． 求下列级数的和：
(1) (2)
【答案】(1) 设
易知其收敛域为
由幂级数的性质知
所以
故
(2) 设
易知其收敛域为(-1，1]，且
从而
故
5． 求下列函数的极值：
【答案】（1）由
当
当当故
当
是
时
，
时
，
的极大值点。
时，无极值点
得把
的定义域分为四段：
由
得
而
均不属
于故
舍去
是
时
，
由
得
由
舍去
得
的极大值点。
显然上述区间的分界点
值点，极大值为
（2）
均是的极小值点，极小值为
是的极大
由
得稳定点
和
于是，
的极小值点，极小值为
（3）
由
得稳定
点故
由
于
故
不
是
故
的极值点
；
是
的极小
是极大值点，极大值为
故
是
的极大值点，极大值为
是
值点，极小值为
6． 求下列函数的幂级数展开式：
【答案】⑴因
故
(2) 故
⑶
故
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