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一、证明题

1． 设

证明：【答案】f 在

函数在

内的带拉格朗日型余项的泰勒公式为

在

内的带佩亚诺型余项的泰勒公式为

①式减②式，得

两边同除以

得

两边取极限得

即

内具有

阶连续导数，且

在

内的泰勒公式为

2． 在[0，1]上定义函数列

证明级数【答案】由

在[0, 1]上一致收敛，但它不存在优级数. 定义可得

从

而时，

有

及

有

恒成立. 所以对于任

意

取

当n>N时，对任意的

由柯两准则知，级数而正项级数优级数

3． 设函数在

【答案】

设

在

朗日中值定理，得到

在[0，1]上一致收敛. 若

发散，

这与

存在优级数. 特别取，有

不存在

发散.

所以级数为优级数矛盾，因此级数

上具有二阶导数，且

内的点

在

内取得最大值. 试证：

并且

在应用拉格

取得最大值，

于是

是的一个极值点. 由于

分别在区间

和

上对

内具有二阶导数，根据费马定理

，

其中

4． 求

【答案】

由

上收敛.

又由

上一致收敛.

由可微性定理，有

因为所以

及

的收敛性知

，

在

及的收敛性知，

积分

在

即

解此常微分方程可得

5． 求证

：

【答案】对任意给定的

由柯西中值定理，

使得

只需再证明

将(1) 式左端中的变易为x 作辅助函数

由此可

见

是函

数

的最大值点. 于是

显然由(2) 式推出(1) 式，所以本题结论成立.

6． 设

在

上连续可导，证明：

【答案】方法一用积分中值定理. 因为

所以

方法二用分部积分法. 因为

而

是

函数

在内的惟一极值点，并且是极大值点. 从

而