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一、证明题

1． 设

使得

【答案】取

在

内可导

，且

足够大，使得

则有

再由拉格朗日定理，

使得

联合(1) 式与(2) 式，即

2． 设

证明:f 在D 上连续，但不一致连续.

【答案】显然，f 在D 上是连续的，仅证f 在D 上不一致连续.

取当

无论及

时，

从而

在D 上不一致连续.

取得多么小，当

取到某个，n 时，

总能使

且

求证

：

二、解答题

3． 求

【答案】由于

之和.

所以考虑幂级数

当时，逐项积分有

求导得

于是有

4． 求曲线积

分

交成的曲线.

【答案】记

等价于

利用斯托克斯公式得，

5． 计算积分

【答案】令

6． 设函数f 在

证明：【答案】先证

处连续，

. 由已知条件，

这里L 是球

面

与

且

有

或

由式（1）可得

将上述不等式相加，可得

令即

这表明同理可证.

7． 设

且

是退化矩阵(

即在稳定点处

由于f 在

处连续，所以有

二阶可导，且有稳定点

；

(1) 试求的所有稳定点；

(2) 证明的所有稳定点都是退化的，即在这些稳定点处

，

【答案】(1) 因为

令(2) 设所以

即

8． 设

【答案】

则

设的稳定点的全体为D , 所以的所有稳定点的全体为

是，的一个稳定点，因为

为退化矩阵(

为由方程

时结论不一定成立) 。

所确定的可微隐函数，求gradz.