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一、证明题

1． 设f 为区间上的单调函数. 证明：若

【答案】设f (x ) 为上的单调递增函数得f (x ) 在调有界原理知

内递增且以

与

为上界，

为的间断点，则

必是的第一类间断点.

使

为下界，由函数极限的单

若不是的端点，则存在的某邻域

内递增且以

都存在. 故若为f 的间断点，则必是f 的第一类间断点. 当为的

左(右) 端点时，f (x ) 在的右(左) 极限存在，故若为间断点，则必为第一类间断点.

2． 设f 为上可积函数，证明：若f 的傅里叶级数在上一致收敛于f , 则成立帕塞瓦尔(Parseval ) 等式：

这里

为f 的傅里叶系数.

因为f (x ) 的傅里叶级数在

上一致收敛于f ，所以，任给

时，

所以从而，由式

可得

3． 证明公式：

这里数.

【答案】设S 为球面

则有

考虑新坐标系

它与原坐标系

共原点，

且

平面为

坐标系的平面

，

轴过原点且垂直于该平面，于是有

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【答案】设

存在N , 当时，有

故对上述的当

在时为连续函

在新坐标系

中，

则

4． 设x=x(y ，z ) ，y=y(z , x ) ，z=z(x , y ) 为由方程F (x , y , z ) =0所确定的隐函数. 证明：

【答案】由隐函数定理知

所以得

5． 设

在

上二阶可导，且

证明：

【答案】由已知条件可知

，

则必有

由凹函数的性质，对任意的对上式两边在

上积分，可得：

由于

则

从而，对任意的

有

6． 求

在区间

上的傅里叶级数展开式，并由此证明：

【答案】因为

在

上可积，所以可展开成傅里叶级数. 而

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这里的S 仍记为中心在原点的单位球面，将S 表示为：

从而

是上的严格凹函数.

设有

是的最大值点，

故

显然，当

时，

连续，故

当x=0时，级数收敛汙

即

于是由式(1) 可得

再在式(1) 中，令

可得

7． 证明：若

均为区间Ⅰ上凸函数. 则

均为区间I 上的凸函数，所以对任意的

也是Ⅰ上凸函数。

及

由于于是

由式①〜式④得

即

故

是I 上的凸函数

因而

总有

【答案】因为

二、解答题

8． 试确定曲线

【答案】曲线（1）直线

：

（2）直线

上哪些点的切线平行于下列直线：

在x 处的切线斜率为的斜率为1.

由

的斜率为2. 由

得

得

故曲线

故曲线

上点

上点

的切线平行于直线

的切线平行于

直线

9． 判别下列级数的收敛性：

【答案】

由柯西判别法知此级数收敛. 本题不能应用达朗

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