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一、证明题

1． 设不是有效估计.

【答案】设

是0的任一无偏估计，则

即

将（*）式两端对求导，并注意到

有

这说明

由此可以得到则

从而，进一步，

为的UMVUE.

C-R 下界为

故此UMVUE 的方差达不到C-R

记

求的UMVUE. 证明此UMVUE 达不到C-R 不等式的下界，即它

我们将（**）式的两端再对H 求导，得

不等式的下界.

2． [1]设是来自泊松分布P （λ）的样本，证明：当样本量n 较大时，的近似间为

置信区

[2]某商店某种商品的月销售量服从泊松分布，为合理进货，必须了解销售情况. 现记录了该商店过去的一些销售量，数据如下表：

表

试求平均月销售量的置信水平为0.95的置信区间.

【答案】[1]由中心极限定理知，当样本量n 较大时，样本

均

，此可作为枢轴量，对给定利用标准正态分布的

括号里的事件等价于

因而得

其左侧的二次多项式二次项系数为正，故二次曲线开口向上，而其判别式

故此二次曲线与A 轴有两个交点，记为可表示为

这就证明了的近似

置信区间为

事实上，上述近似区间是在n 比较大时使用的，此时有

于是，的近似[2]平均月销售量

此处间为

若用较为精确的近似公式，所得置信区间为[11.0392, 12.9992], 二者相不大.

3． 设

【答案】因为离散场合,

当

时, g （y ）以概率

. 取

，因而

分位数

可得

则有，

其中

置信区间可进一步简化为

较大，利用题[1]的结果，平均月销售量的近似0.95置信区

存在, 试证:

是随机变量Y 的函数, 记

, 它仍是随机变量. 在

由于在Y 取固定值时,

也是常数, 故有

上式对Y 的任一取值都成立, 即场合有E （h （Y ）|Y）=h（Y ）.

4． 设总体的概率函数p （x ; θ）的费希尔信息量存在，若二阶导数证明费希尔信息量

【答案】记

则

所以

另一方面，

这就证明了

对一切的

存在，

. 在连续场合也有类似解释, 所以在一般

5． 设X , Y 均为（0, 1）上独立的均匀随机变量, 试证:

【答案】因为（X , Y ）的联合密度函数为

所以