2017年东华理工大学理学院617数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 证明：(1) f 为区间Ⅰ上凸函数的充要条件是对Ⅰ上任意三点
(2) 为严格凸函数的充要条件是【答案】
因为
所以
由此可知，为凸函数的充要条件是
为严格凸
函数的充要条件是
2．
设级数
与级数
【答案】⑴
当
又如，(2)
当
恒有
都发散，
试问
与
一定发散吗？又若与都是
F —定发散.
如即
收敛. 发散知存在
非负数，则能得出什么结论？
都发散时，
_两级数均发散，但两级数均发散，且，均非负时，则
和P 使
而由
与
非负有
由柯西准则知
3． 设f (x , y) 为连续函数，且
【答案】令
所以
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发散.
一定发散. 这是因为：由
对任意自然数N ，总存在自然数
发散.
证明：
4． 设
均为定义在上可积时，g 在【答案】设记由于
有
在
上可积. 存在
令
使当
则当
与
上的有界函数. 证明：若仅在上也可积，且在
上的值仅在k 个点
时，
时，有
当
时，
所以上式
中至多仅有k 项不为0, 故
这就证明
5． 若
在
只
要在
可积，且内连续，且
则
对又因
为
存在，求证：存
在
在
则有
即
6． 求
在
在区间
内有界.
上的傅里叶级数展开式，并由此证明：
【答案】因为
在
上可积，所以可展开成傅里叶级数. 而
故
显然，当
时，
连续，故
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中有限个点处
处不同，
则当在
在
时
，
内有界.
即
有使
得
【答案】
设使得
当
上连续，所以存
在
当x=0时，级数收敛汙
即
于是由式(1) 可得
再在式(1) 中，令
可得
二、解答题
7． 证明下列数列极限存在并求其值：
⑴设（2）设（3）时成立，则
再证设
递增
，在等式由保不等式性可知
故
有上界2. 当n=l时，
有上界2.
单调递增. 根据单调有界定理，
极限
即
存在.
解得a=0或a=2.
因为
.
因此
两边取极限得，
.
显然成立，假设n=k
由数学归纳法知
【答案】（1）先用数学归纳法证数列
（2）首先证明数列是单调的
.
所以数列再证明数列要满足两个条件
：
此，可猜想数列
有上界是递增的.
是有上界的. 先猜想
，再用数学归纳法来证明. 为此M （M 为某个正整数）即
由于
，当n=l时，显然
的根为
因
假设n=k时成立，则n=k+l时，
即得
，
有上界. 由单调有界定理知，数列
解得
（3）设M 是一个大于c 的正整数，即M>c，则当n>M时，
由
可知
.
因此
由迫敛性得
的极限存在. 设
对因
为
所以
两边取极限
因
此
其
中
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