当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设函数f (x ，y ) 在点

(1) 试证：存在的邻域(2) 试证：得

(即将y 视为常数，对f (x , y ) 关于x 求驻点). 也就是说，找由方程，

在点又

由

时

(2) 由定义及f 在点

的邻域内满足隐函数存在定理的全部条件，因此在

可确定惟一的连续可微函数x=x(y ) 满

足及其连续性知，存在充分小

的g (y ) =f(x (y ) , y ) .

的可微性，有

其中1

1时注意到

因此

是有意义的). 及

有界，由式(1) 可知， 2． 设

证明：

【答案】原不等式等价于

取

的凸

函数. 若记

由凸函数的性质

即

第 2 页，共 22 页

的邻域内二次连续可微，且

使对任何

能求得f (x , y ) 关于x 的一个极小值g (y ) ;

【答案】(1) 对给定的y ，要求f (x ，y ) 关于x 的极小值，按照求极值的步骤，应对y 找出x 使

所确

定的隐函数x=x(y ) , 使得

由已知条件，方程点

的某个邻域内由方

程

使

当

. 这表明f (x ，y ) 关于x 在点(x (y ) , y ) 处取得极小值，记为g (y ) , 即

(因为x=x(y )

在的小邻域内连续，所以当

则由可知，

是上

亦即

3．

设

为区间

【答案】因为

得

又因为

即

根据闭区间上连续函数的介值定理，存在 4． 证明：若函数上一致连续.

【答案】首先，由

使

得

时，有

其次，由

在

综上，

取

与即

5．

设

点

在

事件至少一个发生. 于是，总

有

上一致连续.

证明：(1) 若E

是闭集

故使

则由于

存

为开集，由

由于

因而

第 3 页，共 22 页

上的连续函数，

且证明：

存在

使得

为区间上的连续函数，所以存在最大值与最小值，即存在M , m ，使

.

使得

在上连续，且

知对

总

有

其中b 为非零常数，则f (x )

在存在正数

于是，

对

当

上连续，知

存在

当

对

在上连续且一致连续.

时，

有

当

时

，

于是，对上述

的

到集合E

的距离定义为则

(2)

若是E 连同其全体聚点所组成的集合(称为E 的闭包) . 则【答案】(1) 因为E 为闭集，所以E 的余集

现(2) —方面，

有

即

’因而若

在点列

有

.

即

使

若

使这表明

即表示则

又

这说明X 为E 的聚点，所以不论故

若

但

或都

另一方面，点，因而

即

6． 设

(1) 若(2) 若【答案】(1

)

即X 为E 的聚

即

求证：

则f 为单射，g 为满射；

综合两方面，有

则f 与g 互为反函数.

由条件得

，

即

使得即f 为单射.

故g 为满射

；

则由条件推出

二、解答题

7． 求由方程

【答案】方法一 由隐函数求导，得

所确定的函数z=z(x ，y ) 的极值.

令得方程组

由此求出临界点x=0, y=l.再代入原方程，求出两个隐函数的值为

求二阶偏导数，由(1) 式和(2) 式，得

用x=0， y=l，代入上式，得

所以隐函数

在(0，1) 点有极小值1. 用x=0， y=l

，

第 4 页，共 22 页

代入(3) 式〜(5) 式，得