2018年福建师范大学地理科学学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1．
已知
其中E
是四阶单位矩阵
是四阶矩阵A 的转置矩阵
，
求矩阵A
【答案】
对
作恒等变形，
有即
由
故矩阵可逆.
则有
以下对矩阵做初等变换求逆，
所以有
2． 设A
为
的解为【答案】
由
矩阵
且有唯一解. 证明：
矩阵为A 的转置矩阵）.
易知
为可逆矩阵，
且方程组
只有零解.
使
.
所
只有零
有惟一解知
则方程组
. 即
即有
可逆.
利用反证法，
假设以有
解矛盾，故假设不成立，
则
由
.
3．
已知矩阵
可逆矩阵P ，使
和
得
有非零解，即存在
于是方程组
有非零解，这与
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
若不相似则说明理由.
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是
由矩阵B 的特征多项式
得到矩阵B
的特征值也是
当
时，由秩
知
A 可以相似对角化.
而
有2个线性无关的解，
即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
时矩阵B 只有1个线性无
只有1个线性无关的解，即
关的特征向量，矩阵B 不能相似对角化. 因此矩阵A 和B 不相似. 4．
设的所有矩阵.
【答案】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：
E 为三阶单位矩阵，求方程组Ax=0的一个基础解系；求满足AB=E
得到方程组Ax=0同解方程组得Ax=0
的一个基础解系为
（2）显然B 矩阵是一个4
×3矩阵，设对矩阵（
AE ）进行初等行变换如
下：
由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为
即满足
AB=£；的所有矩阵为其中为任意常数
.
二、计算题
5．
设矩阵A 可逆，
证明其伴随阵
【答案】因另一方面，因用A 左乘此式两边得
比较上面两个式子，即知结论成立.
6． 设A , B 都是正交阵，证明AB 也是正交阵.
【答案】方法一、
由定义，知AB 为正交阵.
方法二、因A , B 为正交阵，故A ，B 均可逆，且
也可逆，
且知
可逆，且
于是AB 可逆，且有