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一、选择题

1． 设A 是n 阶矩阵，

对于齐次线性方程组的解必是

是

的解

的解必是

的解

的解. 以上命题中正确的是（ ）。 A. （1） （2） B. （1） （4） C. （3） （4） D. （2） （3） 【答案】A 【解析】

若

可见命题（1）正确.

如果

若

代入，

得

由于

因此

而知必有

类似地用

.

而

那么对于向量

用

左乘可得

个n 维向量它们必然线性相关，两者

一方面有：

左乘上式的两边，并把

则

即若

是

的解，则

必是

的解，

和

的解不是

现有四个命题

的解

的解不

:线性无关. 但另一方面，

这是

矛盾.

故时，必有，

即的解必是的解. 因此命题（2）正确.

2． 设A ，B , C 均为n 阶矩阵，若AB=C，且B 可逆，则（ ）。

A. 矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 B. 矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 C. 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 D. 矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价 【答案】B

【解析】把矩阵A , C 列分块如下

：示，同时由于B 可逆，

即

由于AB=C, 则可知

得到矩阵C 的列向量组可用矩阵A 的列向量组线性表

同理可知，矩阵A 的列向量组可用矩阵C 的列向量组线性表示，

故矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价.

3． 己知m 个n

维向量线性无关，其中则下列

各向量中有可能线性相关的向量组是（ ）。

A. B. C. D. 【答案】C

【解析】AB 两项是对乘除.

C 项是将第1分量变为0,

相当于非零解，即

向量组

4． 设3

阶矩阵

A. B. C. D. 【答案】C 【解析】

由

知

则

即

解得

当

5． 设A , B为n

阶方阵

A.

若B.

若C.

若【答案】C

A 项，

【解析】将等式有

线性无关，即方程组

惟一零解.

作初等行变换，A 项是第1行加到第2行，B 项是第1行

惟一零解矛盾，也应排

倍，不改变方程组解，必仍线性无关.

D 项是增加分量，增加分量仍线性无关，若相关，

这和原方程组

中减少了第1个方程，减少方程有可能使方程组变得有

可能线性相关.

若A 的伴随矩阵的秩等于1. 则必行（ ）.

时

为n 阶可逆矩阵，下列命题不正确的是（ ）。

则A 的列向量组与B 的列向量组等价 则A 的行向量组与B 的行向量组等价

则A 的行（列）向量组与B 的行（列）向量组等价

D. 若A 的行（列）向量组与矩阵B 的行（列）向量组等价，则矩阵A 与B 等价

中的A , B

按列分块

则

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表明向量组向量组

C 项，设

则P , Q均为可逆矩阵，且

易见B 的行（列）向量组与A 的行（列）向量组不等价.

D 项，若A

的行（列）向量组与B 的行（列）向量组等价，则这两个向量组的秩相同，从而

矩阵A 与B 的 秩相同，故矩阵A

与B 等价（两个同型矩阵等价的充分必要条件是秩相等）。

6

． 设

A 为4×3矩阵

，是非齐次性方程组的三个线性无关的解，为任意实数，则

A. B. C. D. 【答案】C 【解析】

的一个解为

而

线性无关，从而

也线性无关，

且

都为Ax=0的解，从而原方程的通解可表示为

7． 设A 为四阶实对称矩阵，且

若A 的秩为3, 则A 相似于（ ）。

的通解为（

）。

可由向量组

即

线性表示

，从而这两个向量组等价.

可由向量组

线性表示，表示的系数依次为Q 的第

表明

一列至第n 列，由于Q 可逆，

从而有

B 项，类似地，对于

将A 与B 按行分块可得出A 与B 的行向量组等价.

A.