2017年渤海大学数理学院628数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1．
设点.
【答案】对任意
当x 充分大时，
有
由
2． 求证
：
在
上一致收敛. 可得
又
收敛，由M 判别法即得原级数在
先求函数
上一致收敛.
为奇函数，只需讨论
的
知
在
乂
所以由连续函数的零点存在定理知，存
在
上严格单调递增，所以f (x ) 在
内有且仅有一个零点.
在
上有连续导数，
且
试证：
在
内仅有一个零
【答案】方法一：由
方法二：记情形
.
的最大值，由于
又
故
是函数
的最大值点. 因此
3． 用定义证明下列极限：
【答案】(1) 不妨
设
时有
由
于
故
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于是
取
则
当
即(2)
由不等式
得
于是取则当时有
故
求证：
存在，并且
4． 设函数f (x ) 在x=0连续，并且
【答案】
于是，有
把这些式子左右两边对应相加得
由于
在x=0连续，对
取极限，
此即
存在，且
二、解答题
5． 设
其中
有限区间
由于
再由
在在
的收敛半径为任一有限闭区间.
上连续，
上一致连续，于是有
在
上一致收敛于
在任意区间内是一致收敛的，对任意
一致收敛于
，令，
试证明.
在
]
上一致收敛于
【答案】由题意知，
上一致有界，所以
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6． 设一质点受力作用，力的方向指向原点，大小与质点到xy 平面的距离成反比，
若质点沿直线
到
【答案】设比例系数为k ，则点到因为力的方向指向原点，故其方向余弦为
其中
力的三个分力为
7． 求级数
【答案】方法一 令
由逐项积分定理得
令
则由(1) 式得
从而即得
于是
容易证明
. 收敛，再根据阿贝尔引理得
方法二 先对原级数进行如下分解:
的和.
，容易求出此幂级数的收敛半径R=l，
且
求力所作的功.
平面的距离为z ，故
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