2018年云南大学物理科学技术学院621量子力学考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设限制在边长为L 的立方体中的单粒子的本征能量与本征波函数是已知的，其中基态是非简并的，而第一激发态与第二激发态都是3重简并的. 具体而言，基态的本征能量与轨道波函数分别为
第1激发态的本征能量与轨道波函数分别为
第2激发态的本征能量与轨道波函数分别为且前三个单粒子能级是等间隔的.
设由4个上述单粒子构成的全同粒子体系，限制在边长为L 的立方体中. 计算体系的较低的2个本征能量及相应的简并度.
【答案】题中并未给出粒子是费米子还是玻色子，故分两种情况讨论： 由题意可知（1）粒子为费米子
此时粒子应该遵守泡利不相容原理，每个波函数最多容下两个粒子. 体系最低能量：对应波函数有
其简并度为6. 体系第一激发态能量（2）粒子为玻色子
此时粒子不受泡利不相容原理约束， 体系最低能量：体系第一激发态能量为： 2． 取上表达式中
其简并度为1.
其简并度为3.
中的基态能量. 以
其简并度为：3×3=9.
Ⅰ
为试探波函数，应用变分原理估算粒子在势场
均为常数，且
利用波函数的归一化
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【答案】试探波函数从而
由
可得，
代入可得基态能量
3． 两个互作用可以忽略的电子在一维线性谐振子势场中运动，写出系统基态和第一激发态的总波函数。
【答案】单电子波函数的空间部分：
二电子总波函数应为反对称： 基态：第一激发态：
4． 已知
分别为电子的轨道角动量和自旋角动量，
证明
是
的本征态，并就
为电子的总角动量。（）
的共同本征态为相应的本征值。 【答案】
两种情况分别求出其
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5． 设在平行于y 轴的磁场中，一个电子的哈密顿为旋算符，在t=0时刻，电子处在【答案】粒子的哈密顿量
本征值为
因此定态方程
t 时刻，电子波函数满足：
因为
故：
所以：
其中，为自的解为：
的本征态，求以后t 时刻电子所处状态的表示式。
二、综合分析题
6． 质量为
的粒子束被球壳势场散射，振幅和微分截面。
【答案】散射振幅的玻恩近似公式为：
其中
为散射角。
式可得：
微分截面为：在高能近似下
：
微分截面为：
7． 粒子在一维势阱【答案】
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在高能近似下，用玻恩近似计算散射
利用函数的积分性质，由
有
随变化而迅速振荡，其平方可按
对待。因此，
中运动，波函数为写出的跃变条件。