当前位置：问答库＞考研试题

一、简答题

1． 自发辐射和受激辐射的区别是什么？

【答案】自发辐射是原子处于激发能级时，可能自发地跃迁到较低能级去，并发射出光子的过程；

受激辐射是处于激发能级低能级

的原子被一个频率为

的光子照射，受激发而跃迀到较

同时发射出一个同频率的受激光子的过程。受激辐射的光子是相干的，自发辐射是随机

的。

2． 将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？ 【答案】不改变。根据

对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于

粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。

3． 现有三种能级【答案】一维谐振子．

请分别指出他们对应的是哪些系统。

对应一维无限深势阱；

对应

对应中心库仑势系统，例如氢原子；

二、证明题

4． 证明，

【答案】因为

可得：

三、计算题

5． 质量为m 的粒子在宽度为a 的一维无限深势阱中运动. （a ）建立适当的坐标系，写出哈密顿算符，求解定态薛定谔方程. （b ）当粒子处于状态率. 其中

分别是基态和第一激发态.

第 2 页，共 26 页

时，求测量粒子能量时的可能取得及相应的概

（c ）若上式的是t=0时刻的波函数，求粒子在其后任意时刻的波函数.

【答案】（a ）如图建立坐标系，

图

设波函数当当令

哈密顿算符

满足薛定谔方程时，时，

则

的通解可表示为

利用边界条件由归一化可解得

得，

定态薛定谔方程的解为

对应的定态能量为（b ）当粒子处于态

几率1/4 ;

几率3/4

时，能量的可能值及几率为：

（c ）任意时刻t 的波函数可以表示为下面形式其中

故任意时刻t 的波函数其中

第 3 页，共 26 页

在此题中

6． 粒子在势场作【

答

案

】

利

中运动，其中

用

波

试用变分法求基态能级的上限。试探波函数可取

函

数

的

归

一

化

公

式

由重新代入

得：

表达式，得：

表示时刻t 在

区间内发现粒子的几率.

其中

是几率流密度.

故基态能量的上限为：

7． 在一维情况下，若用（a ）从薛定谔方程出发，证明

（b ）对于定态，证明几率流密度与时间无关. 【答案】（a ）设t 时刻粒子的波函数

波函数满足薛定谔方程：

对（1）两端取复共轭得，

做运算

得

上式两边同除以移项得，

则几率流密度公式为上式可表示为

两端积分得：

第 4 页，共 26 页