2018年长沙理工大学物理与电子科学学院838量子力学考研基础五套测试题
● 摘要
一、简答题
1． 什么是量子跃迁？什么是选择定则？线偏振光和圆偏振光照射下的选择定则有什么区别？ 【答案】量子跃迁是指在某种外界作用下，体系在不同的定态之间跃迁。
选择定则：从一个定态到另一个定态之间的跃迁概率是否为零，也即跃迁是否是禁戒的。 线偏振光选择定则：圆偏光选择定则：
2． 如果算符表示力学量那么当体系处于的本征态时，问该力学量是否有确定的值？ 【答案】是，
其确定值就是在本征态的本征值。
3． 试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。 【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。
二、证明题
4． 证明厄密算符的本征值是实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄密算符？ 【答案】以表示的本征值
由此得
表示所属的本征函数，则
即是实数。
因为是厄密算符，于是有
三、计算题
5． 对于自旋的体系，求量
得
的概率和
的本征值和本征态，并在较小的本征值对应的本征态中，求测
的平均值。
设本征态
本征值为则：
【答案】
将代回原方程：
即：
所以，
因此有：
同理可得：
的本征态
所以在
态中测量
的几率为：
6． 分别在【答案】（1
）在
故：令
因此有：由可得：
表象中，求出表象中
因
是厄米算符，
有
的矩阵表示，并求出由表象到
知
表象的变换矩阵。的本征值为±1，
应为对角矩阵，对角元为的本征值，由
所以即a 、d 为实数
，
有：
所以a=﹣a ，即a=0；d=﹣d ，即d=0。
由
而
所以
有：
取
则：
取
则
（比较在
表象中，
（2）在表象中，方法同上。先令
表象到
表象的变换矩阵。
设其基矢为
再求得最后求得
（3）下面求由的本征值为：求
的本征矢，对于本征值有：
再归一化，得：对于本征矢
可得：
其中
所以，变换矩阵为：取
有：
7． 考虑一维双势阱：
（1）推导在x=a处波函数的连接条件. （2）对于偶宇称的解，即征值的数目.
【答案】（1）薛定谔方程可表示为
求束缚态能量本征值满足的方程，并用图解法说明本
OT 为粒子质量，
为方程的奇点，在x=a
点处
对上述方程积分
得出
（2）由题意知当x ＞a 时
，当-a ＜x ＜a 时，
其中
其中
考虑到束缚态，因此解为
考虑到偶宇称，因此解为
结合x=a处的边界条件和此处的波函数连续条件，可得
不存在，表现为
不连续。