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一、简答题

1． 什么是量子跃迁？什么是选择定则？线偏振光和圆偏振光照射下的选择定则有什么区别？ 【答案】量子跃迁是指在某种外界作用下，体系在不同的定态之间跃迁。

选择定则：从一个定态到另一个定态之间的跃迁概率是否为零，也即跃迁是否是禁戒的。 线偏振光选择定则：圆偏光选择定则：

2． 如果算符表示力学量那么当体系处于的本征态时，问该力学量是否有确定的值？ 【答案】是，

其确定值就是在本征态的本征值。

3． 试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。 【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。

二、证明题

4． 证明厄密算符的本征值是实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄密算符？ 【答案】以表示的本征值

由此得

表示所属的本征函数，则

即是实数。

因为是厄密算符，于是有

三、计算题

5． 对于自旋的体系，求量

得

的概率和

的本征值和本征态，并在较小的本征值对应的本征态中，求测

的平均值。

设本征态

本征值为则：

【答案】

将代回原方程：

即：

所以，

因此有：

同理可得：

的本征态

所以在

态中测量

的几率为：

6． 分别在【答案】（1

）在

故：令

因此有：由可得：

表象中，求出表象中

因

是厄米算符，

有

的矩阵表示，并求出由表象到

知

表象的变换矩阵。的本征值为±1，

应为对角矩阵，对角元为的本征值，由

所以即a 、d 为实数

，

有：

所以a=﹣a ，即a=0；d=﹣d ，即d=0。

由

而

所以

有：

取

则：

取

则

（比较在

表象中，

（2）在表象中，方法同上。先令

表象到

表象的变换矩阵。

设其基矢为

再求得最后求得

（3）下面求由的本征值为：求

的本征矢，对于本征值有：

再归一化，得：对于本征矢

可得：

其中

所以，变换矩阵为：取

有：

7． 考虑一维双势阱：

（1）推导在x=a处波函数的连接条件. （2）对于偶宇称的解，即征值的数目.

【答案】（1）薛定谔方程可表示为

求束缚态能量本征值满足的方程，并用图解法说明本

OT 为粒子质量，

为方程的奇点，在x=a

点处

对上述方程积分

得出

（2）由题意知当x ＞a 时

，当-a ＜x ＜a 时，

其中

其中

考虑到束缚态，因此解为

考虑到偶宇称，因此解为

结合x=a处的边界条件和此处的波函数连续条件，可得

不存在，表现为

不连续。