2017年河南科技大学数学与统计学院856高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
2． 设向量组
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为
所以向量组
线性无关.
线性无关.
3． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
则A 与B （ ）.
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B. 再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
使
且由①式得
因此A 与B 合同.
4． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
.
则
也不是线性变换，
比如给
5． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使
C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
二、分析计算题
6． 设A 是n 级反对称阵，证明：
（1）当为奇数时，（2）A 的秩为偶数.
当n 为偶数时，是一实数的完全平方；
【答案】先证若A 是反对称阵，则有在实可逆阵T ，使
，结论①显然成立. 用数学归纳法，当n=l时，A=（0）当n=2时，若
若a=0时，结论①成立.
同时第2列也乘
即
即A 与
合同. 结论①成立.
时成立. 再证n=k+l时，设
若A 的最后一行（列）元素全为零，则由归纳假设这结论已经成立. 不然经过行列同时对换，可设
那么最后一行和最后一列同乘以
则A 合同于
对偶作初等变换，第2行乘
归纳假设结论对
再利用1，-1对偶作变换，则A 合同于
由归纳假设知k —1阶反对称阵
合同. 从而A 合同于