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一、选择题

1． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.

A.E B.-E C.A D.-A

【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有

B （E-A ）=E.

又C （E-A ）=A，故

（B-C ）（E-A ）=E-A.

结合E-A 可逆，得B-C=E.

2． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.

A. 必相等

B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在

若选故选B.

3． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B

【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知

B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.

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中选三个向量组

从而否定A ,

若选从而否定C ,

则A 与B （ ）.

所以A 的特征值为3，3，0；而

4． 二次型

A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1

方法2 设二次型矩阵A ，则

是不定二次型，故选B. 是（ ）二次型.

由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式

从而否定D ，故选B.

5． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.

A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C

【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有

又

所以有

即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*

解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此

分别为A ，B 的伴随矩阵，

即

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二、分析计算题

6． 设个元素

试证：（1）V 到

的映射

是一个同构映射； （2）对V 的每组基

有V 的惟一的一组基

（3）如果V 是复数域上n 维线性空间，则有一组基

【答案】（1）由于f 是双线性的，是V 上线性函数即

证是线性映射.

令

则

故同样地

即有

由于V

及取V 的一组基

故是V

到

的线性映射.

是双射，它就是同构.

都是n 维线性空间，又是线性映射，若再能证

使f 的度量矩阵是对角阵

再由f 非退化，

皆不为零. 这组基在

中的对应元为

若有

由由于

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是n 维线性空间V 上的非退化对称双线性函数，对V 中一个元素定义中一

使

使

令

于是

得

即是线性无关的，因而是的基.