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一、选择题

1． 设

A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有

由上述知因此

线性相关，所以线性相关，故选A.

则线性方程组（ ）•

于是

线性无关时，若秩

线性相关. 由此可否定C ，D. 又由

则

线性无关，

均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则

矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.

2． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩

【答案】D 【解析】

3． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.

A. 必相等

B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在

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中选三个向量组

若选

故选B.

4． 齐次线性方程组

从而否定A ,

若选从而否定C ,

的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵

【答案】C 【解析】若当C.

5． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵

A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设

可逆，由于

的伴随矩阵为（ ）.

则分块矩

时，

由AB=0, 用

右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.

由AB=0，左乘

可得

矛盾，从而否定A ，故选

使AB=0, 则（ ）

.

且

所以

，

二、分析计算题

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6． 设关. 设有m 个数

为n 维线性空间V 中的线性相关的向量组，但其中任意

使

或者使不妨设

则则

或者

个向量皆线性无皆不为零. 在后

者的情形，若另有一组数

【答案】对由于性表出，

故若又笔

皆不为零. 因

设若有某

中任意m_l个向量线性无关，不能被中任意m-2个向量线

则

由于的系数由第一段的论证得所有

即

7． 设线性空间V 的两组基为

（1）求 【答案】（2）如果n=3，答:（1）设

使得

是否存在j ，

为V 的基.

使

记

因为

为V 的基，为什么？

由过渡矩阵A 的第i 行不全为0，设

所以

上式右侧的n 阶矩阵可逆，財（2）结论成立. 事实上：排列. 由

（1）存在使

是V 的基；再由（1）存在

则

是V 的基. 仍是V 的基，这里

是

的一个

是V 的基，这里

显然

8． 设T 是W 维空间V 的一个线性变换. 证明：

①若非零子空间W 对T 不变，则可选择V 的基，使T 在此基下的矩阵呈下形：

②T 在某基下的矩阵为对角矩阵

V 可表为n 个一维不变子空间的直和.

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