2018年哈尔滨医科大学公共卫生学院611数学综合之数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 试证明:
二次型
值和最小值恰好是矩阵
的最大特征值和最小特征值. 【答案】设
, 令
①x ＋②y ＋③z 结合④式, 得由①, ②, ③知是对称矩阵
的特征值. 又f 在有界闭集恰好是矩阵
的最大特征值和最小特征值.
2． 设悬链方程为A （t ）.
该曲边梯形绕x 轴一周所得旋转体体积、侧面积和x=t处的截面面积分别记为
证明（:1）
【答案】（1）由弧长公式得
由定积分的几何意义可得
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在单位球面上的最大
上连续, 故最大值、最小值存在, 所以最大值和最小值
它在上的一段弧长和曲边梯形的面积分别记为:s （t ）、
（2） （3）
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（2）旋转体体积为
侧面积为
所以
（3）x=t处的截面面积为
所以
3． 证明:若
（1）（2）
【答案】（1）
（2）由（1）的运算可得
4． 设z=siny+f（sinx －siny ）, 其中f 为可微函数，证明:
【答案】设u=sinx－siny , 则
所以
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, S
为包围区域V
的曲面的外侧, 则
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5．
（1）（2）
求证:
使得
【答案】（1）利用拉格朗日中值定理, 存在
（2）设所以
, 则有
故有 6． 设
【答案】记
则
试证:当x ≥0时,
,
显然
在x ≥0,
上
结论得证.
连续, 所以可在积分号下求导, 即
令
则
又
故
从f
（x ） +g （x ） =C （C 为常数）,
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