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一、计算题

1． 设数

在[a, b]上不仅收敛, 而且一致收敛. 【答案】级数可记为由每一个

又x=a及x=b时

,

设

为收敛于零的函数列,

故

则

在[a, b] —致有界.

又对每一个

为[a, b]上正的递减且收敛于零的函数列, 每一个

都是[a, b]上的单调函数, 则级

都是[a, b]上的单调函数可得

是单调的, 由狄利克雷判别法可知, 原级数在[a, b]上一致收敛, 从而也必收敛.

2． 将以下式中的（x , y , z ）变换成球面坐标

的形式:

【答案】将. 对变换①, 有

对变换②, 有

看成由①

和②

复合而成.

故有

对上述变换①的结果, 得

对变换②, 有

因为

所以

故

3． 求极限

其中 f （x ）在[0, 1]上连续, f （0） =0, 【答案】作变

换

所以

,

则

变

为

故

4． 应用柯西准则判别下列级数的敛散性.

（1）（2）（3）（4）

【答案】（1）任意的自然数P ，

又

从而任给的

存在

当m>N时，对任意的正整数P ，有

，

由柯西准则得原级数收敛.

（2）当 p=l 时,

由柯西准则知原级数发散.

（3）任给的自然数p （不管是奇数还是偶数），

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故任给的正数

取

当m>N时及任意的自然数p

,

由柯西准则知原级数收敛. （1）当 p=m 时，

故存在

对任意正数N ，总存在

及P=m, 使

由柯西准则知原级数发散.

5．

设f （X ）, g （x ）在

求证:

【答案】方法一在

.

上任取一个序列

, 使得

于是由

再根据序列极限与函数极限关系定理得方法二对即有

, 由

使得当, 即

时, 有

对此

, 由 , 按定义

, 由题设则有

上定义,

且

’

, 使得当xX 时, 有f （x ）L , 于是, 当xX 时, 有

二、证明题