2018年浙江工业大学理学院861高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、填空题
1． 设矩阵
且秩【答案】-3. 【解析】
则 k=_____.
则从而k
所得余式为_____..
，所以
或
但时秩
2． 多项式除以
【答案】【解析】设
.
将代入上式，得
3． 二次型
【答案】2
【解析】二次型的秩即其矩阵的秩，该二次型矩阵 4． 设
间的维数为2, 则a=_____.
【答案】6
显然r （A ）=2
由商式和余式的惟一性即得.
的秩为_______
若由生成的向量空
二、分析计算题
5． 设
（2）若
是线性空间V （不必是有限维）上的线性函数, 证明:
的核
任一向量X 可以唯一表示为
是V 的极大子空间.
下证
（1）函数
【答案】（1）显然S 是V 的子空间, 若T 是真包含S 的子空间, 则
由
则若
令
于是
故
从而
即S 是V 的极大子空间.
（2）由前面的证明知分解的存在性成立, 且
则
6． 设A 的特征多项式为
由
证明
代入上式立得
与A 相似, k 是正整数.
唯一性得证.
【答案】由若当定理知, 存在可逆矩阵P , 使得
这里
于是
下面证明
由
它们的行列式因子都是
与A 相似.
7． 把实数域看成有理数域判断向量组
【答案】向量组当
时，结论显然成立；假设结论对于
使得
若
则有
于是
故
上的线性空间，这里的是互不相同的素数.
是否线性相关？说明理由.
是线性无关的，可用数学归纳法证之. 成立，下证对于n 结论也正确.
为此，设有
这是不可能的. 若
则有
根据归纳假设，知
故向量组
是线性无关
的. 这就证得：对于任意正整数n , 结论均成立.
三、证明题
8． 设A 为n 阶方阵,
且
证明:A 可对角化【答案】设则
且
互异且
的初等因子都是一次的且显然全部互异的初等因子是
的最后一个不变因子故
整除
则A 的最小多项式
无重根, 故
若A 可对角化, 则其乘积即但反之, 若但
是A 的最小多项式,
故
也无重根. 因此可知:A 可对角化.
9． 设A 为n 阶实反对称矩阵. 证明:
①存在正交方阵U 使
其中D 为主对角线上元素为矩阵；
【答案】①由于A 为实反对称矩阵, 故可知A , 为实对称矩阵. 设A 的特征根为
从而
的特征根为其平方, 即
（1）
于是存在正交矩阵
使
（2）
其中D 为主对角线上元素为（1）的对角矩阵. ②由于
而
（为实数）的对角