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一、证明题

1． 设有四个不同

的零点不同的零点；函数.

应用罗尔定理可知函数

’必有三个不同的零点；函数

有两个

有一个零点. 然而已知函数f 无零点，这便产生矛盾. 这矛盾说明反证法

为实数. 求证：方程

的根不超过三个.

那么函数.

【答案】用反证法.

假设方程有四个不同的根

假设不成立，即方程至多只有三个根.

2． 设f 在连续，且对任何

(1) f 在R 上连续； (2)

【答案】(1) 由得

并且对一切

有证明：

可知

于是由f 在x=0连续可

故f 在R 上连续. (2) 对整数

有

所以

于是对任何有理数r 有上连续，有

3． 设正项级数

【答案】令

，收敛，证明：级数

则

对上式两边取极限得

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对任何无理数

故对任何

存在有理数列

使由f 在R

：仍收敛，其中.

所以级数收敛到

4． 应用函数的单调性证明下列不等式：

【答案】(1) 令

则

所以f (x ) 在

(2) 先证明

增. 又因为f (x )

在

则

因此

所以当

(3) 令

则

所以当

时，

由此可得，

时

令

连续，

所以

为了确定

因此h (x )

在于是，g (x )

在故当

时

则

即

的符号，

令

于是在

内再证

严格递

令

则

连续，

故

连续，

内严格递增. 又因

在

连续，所以当

时

故

内严格递减. 又因h (x )

在内严格递减，又因为g (x ) 在

二、解答题

5． 设函数

【答案】

构造函数：

可知，

连续且有界。但是

在

时非一致连续.

当

时，

在开区间在

内连续且有界，试讨论内非一致连续.

在

内的一致连续性.

反证法：如果函数一致连续，则对

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取

令

当n 足够大的时候

出现矛盾，所以原命题成立.

6． 确定下列函数的单调区间：

【答案】减.

（2）f （x ）的定义域为因此. 在

f （3）（x ）的定义域为上，

递减.

（4）f （x

）的定义域为

和

上均为单调递増.

7． 求下列不定积分：

导函数为

递减；在

故在

故在

递增在

递增 上

递增；在

递

故. 在定义域上恒正，f （x

）在

【答案】

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