2017年西北大学数学学院632数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 试证明
【答案】数集
因为对于任意一个正数M ,
令
2． 证明：若则
其中
【答案】(1) 令
在区间
上应用拉格朗日中值定理，得
从这个等式中解出
得，
因为
所以
又因为
所以
(2)
3． 设
【答案】因为f 为有
又因为
取
故
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有上界而无下界. 对任意的
而
故3是数集S 的一个上界.S 无下界，
证明
使得当
在
时.
内
，
时的无穷大量，所以对任意的M>0, 存在不妨设b>0, 则由函数极限的局部保号性知
.
则当
时，
4． 证明下列结论：
(1)
设(2)
设
在(3) 设f (x )
在f (x )
在
故(2) 易知
在点x=0连续，且
对上连续；
在
上连续； 在点上连续.
取
得又
在点
连续，从而
因为
在于是对
令同理由
在
(3)
由即
对
利用(1) 的结论知
在
定号，从而可知
得
对
两边取对数得
上连续，从而
在
得
即
令
得因为
都成立.
由已知得上连续.
在
处连续，
在
有
即在所以于是
且上连续.
对
与
同号，
从而
处连续，由(1) 的结论知
上连续. 上单调，
所以
都存在，设
.
对
当
时，由
处连续，所以
连续，
且对
满足
则
上单调，
且对
满足
则
满
足
则
在
【答案】(1) 由
二、解答题
5． 试求下列方程所确定的函数的偏导数
(1
)
【答案】(1) 把看成所以
同理两边对y 求偏导数得
(2) 两边对x 求偏导数有
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(2)
的函数，两边对x 求偏导数，得
所以
两边对y 求偏导数，得
故
6． 设
【答案】因为
求所以
7． 用积分判别法讨论下列级数的敛散性：
⑴(3
)
【答案】(1) 设级数
(2)
设所以积分(3)
设
收敛.
则
发散，从而级数则
故f (x ) 在
上非负递减，又
发散，所以原级数发散. (4)
设
则
故f (x ) 在I ) 当P=1时，
当II )
当
时收敛，时，
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(2)
(4)
则f (x ) 在
上非负递减，又积分
—收敛，从而
故f (x ) 在
发散.
上非负递减，而
上非负递减.
时发散. 所以在p=l时，原级数在时收敛，
在时发散.