2017年华北电力大学(保定)数理系617数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设有四个不同
的零点不同的零点；函数.
应用罗尔定理可知函数
’必有三个不同的零点；函数
有两个
有一个零点. 然而已知函数f 无零点，这便产生矛盾. 这矛盾说明反证法
为实数. 求证：方程
的根不超过三个.
那么函数
.
【答案】用反证法.
假设方程有四个不同的根
假设不成立，即方程至多只有三个根. 2． 证明
:任意正数.
【答案】由于
有
当
积分在
若该积分在
时，关于单调递减，且当内一致收敛，则对
时一致收敛于0, 由狄利克雷判别法知该使得
因为
另一方面，
由于
，则
所以
则
当当
因而
时有
时有
取
于是当
则
矛盾，故原积分在
内不一致收敛。
时，
若
有
在
上一致收敛；在
内不一致收敛，其中
与为
上一致收敛.
二、解答题
3． 求
【答案】
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而
于是
原积分
4． 设
【答案】
5． 计算
其中，
为可微函数，求
【答案】解法一：这是一个第二类曲面积分，不妨设其方向为外法线方向.
设经演算得到
在原点附近补一个小椭球在所以
作代换
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使其完全包含在
内.
与V 之间的区域，被积函数有连续偏导数，满足高斯公式，由
I
进行计算后得到
解法二：作
使其完全包含在
内
6． 设函数
（1）m 等于何值时，f 在【答案】（1）当（2
）
时， 7S
:
【答案】将
代入
整理可得：
由此可知，当之外，所以
显然当
’时.
所以只需计算
时的积分：
其中D 是式(1) 所表示的区域作变换
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，试问： 为正整数）
连续；（2）m 等于何值时，f 在
可导.
连续.
当
时故当m 为正整数时，f 在
当
不存在. 故当正整数
时，f 在
即
可导.
时
． 计算积分
其中
时，平面S 在球. 内；当时，平面S 在球