2017年西北大学数学学院632数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设f 在
存在
最小值定理知
若若
则
上连续，且对任何使得
在
上连续可知
命题得证.
使得
这与m
是
2． 证明：若
【答案】已知
T 上增加两个分点
在
在在
上的最小值矛盾. 于是上可积，
上可积，故任给
则存在对
即存在在
使得上也可积。 的某分割T , 使得
在
在
上也连续. 由连续函数的最大、
上有最小值. 设这个最小值为
存在.
使得
【答案】由f (x ) 在
由题设知存在
得到一个新的分割则由上题结论知
分割
在上的部分，构成的一个分割，记为则有
故由可积准则知，
3． 设
在上可积。 证明：
【答案】由拉格朗日中值定理知，使得
因为上式右端大于0, 所以下面只需答:令
则
显然
是
在上的唯一驻点. 因为当
时，
当
原
不等式成立.
4． 测得一物体的体积限为
求由公式
【答案】
所以d 的相对误差限为
绝对误差限为
其绝对误差限为
又测得重量’
其绝对误差
时
，
所以是
的最大值点. 于是
从而
算出的比重的相对误差限和绝对误差限.
二、解答题
5． 把函数
在(0, 4) 上展开成余弦级数.
【答案】对f (x ) 作周期为8的偶延拓，得一连续偶函数，故在(0, 4) 上可将f (x ) 展为余弦级数
.
所以由收敛定理，在(0，4) 内
.
6． 利用迫敛性求极限：（1）
【答案】（1）因为于是
（2），所以当
时
而
由迫敛性得
（2）因为又因为
所以当
时
由迫敛性得
7． 计算
其中L 为球面
与平面
的交线.
【答案】方法一(用参数方程求解) 将
代入球面方程整理可得
令
代入上式得
所以
于是
方法二(用对称性求解) 由于积分变量X ，y ，z 在曲线方程中具有轮换对称性(即三个变量轮换位置，曲线方程不变) ，所以
故