2018年东南大学经济管理学院933高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设
是数域P 上线性空间V 的一组基,
是V 的基； 的对偶基, 并用
表示
的对偶基. 是
的对偶基, 令
（1）证明:（2）求
【答案】（1）设
则（2）设
是
由
的对偶基, 由
是V 的基, 故
也是V 的基. 则
于是
的对偶基为
2． 找出和式【答案】已知和的二次多项式.
猜测和式设为
对所有的正整数n 都成立. 而于是
可计算出
又
，故
因此
的一般公式.
是n 的一次多项式，
是n 的三次多项式， 于是
是三次多项式，
是n
都是二次多项式，且在无穷个x 值上相等，故这两个多项式是相等的.
验证:
这里用了多项式的性质，而不是用归纳法进行求证的. 3． 设
为正定矩阵，其中A ，B 分别为m 阶对称阵和n 阶
矩阵.
是否为正定矩阵，并证明你的结论. ，有
，其中
对称阵，C 为
（1）计算
（2）利用（1）的结果判断矩阵【答案】 （1）由
（2）矩阵是正定矩阵. 由（1）的结果可知，矩阵D 合同于矩阵
又因为D 为正定矩阵，所以矩阵M 为正定矩阵. 再由矩阵M 为对称矩阵，知称矩阵.
对
及任意的
有
即证
故
为正定矩阵-
4． 设T 是n 维空间V 的线性变换且
也是对
证明:存在V 的基, 使T 在此基下的矩阵为
（1）
【答案】由于V 是n 维空间, 又又由于
故存在使但故因此可知,
线性无关, 从而是V 的一基.
…,
故可知T 在基
下的矩阵为（1）
5． 设
【答案】由
是数域P 上线性空间V 的基, 问是V 的基吗？为什么？
记上式右端的n 阶方阵为A , 则数.
6． 设子空间
【答案】证法Ⅰ 令
下证是
到
的一个同构映射:首先, 若
（1）
则
于是由
得
是V 的基
于是是奇
与是欧氏空间V 的两组向量. 证明:若则
又得即为其次, 若即为
到到
的单射. ,
为
到
的双射.
真的同构映射. 故
可得
于是
系. 故它们有相同的秩, 因此
,
从而
与
有完全相同的线性关
证法Ⅱ 由
则显然可得
故
（2）
反之, 由（2）可得（1）, 即
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