2018年福建师范大学数学与计算机科学学院643高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、填空题
1． 设
【答案】 -3
【解析】
秩
秩
而秩
秩
即
所得余式为_____..
B 为3阶非零矩阵，且
则
_________
2． 多项式
【答案】
除以.
【解析】设
将代入上式，得
3． 二次型
【答案】2
【解析】二次型的秩即其矩阵的秩，该二次型矩阵 4． 设
是3阶方阵A 的伴随阵，
所以
则
_____.
【答案】
显然r （A ）=2
由商式和余式的惟一性即得.
的秩为_______
【解析】因为
二、分析计算题
5． 令A 是复数域上一个n 级方阵.
（1）证明:A 相似于一个上三角阵； （2）令
是A 的特征多项式, 证明:
（不许用哈密尔顿一凯莱定理）证
【答案】 （1）设A 的Jordan 标准形为
其中
由于为上三角阵, 从而J 为上三角阵, 所以
为A 的特征多项式, 且
互异, 那么
（2）设其中
由①式有
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6． 设A
为方阵，
I 为单位矩阵，且
（1）证明
可逆.
【答案】（1）证明由（2）由题设得
又由
得A 的特征根A 满足
所以5不是的特征根，从而
7．
设
A 是n 阶方阵，
且
【答案】解法1:因为
所以
又因为解法2:因为
所以
由于所以
. 所以
（E 是n 阶单位矩阵，A ’是A
的转置矩阵）
，
求
.
可逆
. 得
所以
可逆.
（2）求满足下列方程的方阵X.