2018年湘潭大学数学与计算科学学院601数学分析考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 求函数
【答案】设
令
解得
依题意, 相当于求n 维空间中原点到超平面
的最短距离. 由几何学知, 最短距离存在,
在条件
下的最小值.
而稳定点只有一个, 故一定在惟一稳定点处取得最小值, 故
2． 由拉格朗日中值定理, 对
, 使得
求证:
.
方法一:用带皮亚诺余项的泰勒公式, 得
于是
即
即得方法二:由
.
解出
. 由洛必达法则及
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, 得
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【答案】
3． 利用微分求近似值
:
（1）（2）（3）
（4）则
即
（2
）令
由（3）令所以
（4）
, 令
,
, 则
,
,
. 所以
4． 试问下列函数是由哪些基本初等函数复合而成:
（1）（2）（3）（4）【答案】（1）（2）（3）（4）
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.
,
,
. ,
,
则
得
, 则
,
,
【答案】（1）令
由由由
由
复合而成.
复合而成. 复合而成.
复合而成.
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5． 试举例说明:在有理数集内, 确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不能成立.
【答案】（1）设
（2）由的不足近似值形成数列（3）设M 是由数集内不成立.
（4
）时
,
的不足近似值形成的数
列
但其极限是
,
而
满足柯西条件（因为当m , n>N
不是有理数, 于是这个满足柯西条件的数列在有理数集内没
, 则S 是有界集, 并且
但
故
有理数集S 在Q 内无上、下确界, 即确界原理在有理数集内不成立.
这个数列是单调有上界的, 2是它的一个上
界. 它的上确界为于是它在有理数集内没有上确界. 因此, 单调有界原理在有理数集内不成立.
的所有不足近似值组成的集合. 则1.4是M 的一个下界, 2是M 的一个上界.
, 故在有理数集内不存在聚点. 因此, 聚点定理在有理
即M 是一个有界无限集, 但它只有一个聚点
有极限. 因此, 柯西收敛准则在有理数集内不成立.
6． 若L 是平面上的闭曲线, 它所包围区域的面积为S , 求
,
其中L 依正向进行. 【答案】因
故由斯托克斯公式及第一、二型曲面积分之间的关系得
7． 设
求证:f （x ）在【答案】
由
, 且
上一致连续.
推知
. , 使得当,
又由
,
推知
使得当
时, 有
,
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时, 有