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一、证明题

1． 证明:级数

收敛.

则任意的n , 存在k ,

使

因

为

故b n 中使

得

所

以

【答案】证法一:

记

的项最多

有

由阿贝尔变换得

由柯西收敛准则知原级数收敛.

证法二:将该级数中符号相同的项加括号得

因为

即同理可证

故

为单调递减数列且趋于0, 故交错级数

收敛, 从而原级数收敛.

证明g 为连续函数.

, 则

上

时, . 对于任给的;

设

即当

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2． 设函数f 只有可去间断点, 定义

【答案】设g 的定义域为D ,

时

,

（x ）的值由f （y ）在邻域性和

得

即

的值决定, 而在

, 存在,

由

,

使得当知g 由保不等式故g （x ）在

x 0连续. 由x 0的任意性知, g （x ）在D 上连续.

3． 设{an ）为实数列, 它满足不等式

【答案】由条件

知

将以上各式乘2后相加得

因为级数同理

于是

, 故

4． 证明:当且仅当存在各点互不相同的点列

【答案】充分性

若存在时, 有

当充分大时, 这说明P 0是E 的聚点.

必要性 若P 0是E 的聚点, 则对任给的含有E 中的点, 取出一个, 记为P 1.

取

则

中含有E 中的点, 取出一个, 记为P 2. 依此类推, 取

则

这样继续下去, 得到一个各项互异的点列

5． 确定常数a , b , 使当

证明:

,

【答案】

于是

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,

, 又级数收敛. 证明:

收敛, 所以. , 由迫敛性知'

时, P 0是E 的聚点.

时,

则对任给的总存在N , 使得n ＞N

含有的无穷多个点, 又

从而中含有E 中无穷多个点,

则

中

中必含有E 中的点, 取

中含有E 中的点, 取出一个, 记为P n. 易见

且

时

, 为x 的3阶无穷小.

欲使f （x ）为三阶无穷小量, 必须有

解之得 6． 用

方法证明:

【答案】则

因此,

存在

当

时, 便有

即

二、解答题

7． 设函数

求: （1）

（2）

【答案】 （1）（2）

8． 应用比较原则判别下列级数的敛散性:

（1）（3）（5）

（2） （4）

（6）

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