2018年大连大学教育部先进设计与智能计算重点实验室716数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设f （x ）在
上有一阶连续导数, 且f （0）>0,
, 证明:
【答案】
,
由
, 有
对其取极限可得
由已知条件有
2． 设函数f （x ）在闭区间[a, A]上连续, 证明:
【答案】因为
当 3． 设
,
, 证明:交错级数
, 则
, 由f （0）=0和
时, 有f （x ） >f （0）, 即式（1）成立.
单调递减. 设所给的极限为
, 取
满足
,
（收敛.
适当小）, 有
可知, 存在
【答案】先证明一个不等式. 设事实上, 令当
由已知的极限, 当n 适当大时, 则当n 适当大时, 有
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. 若
.
时. 所以
,
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这里应用了不等式（
1）,
由此可知, 存在A>0, 使当
n 适当大时, 有
由莱布尼茨判别法,
4． 设级数
收敛,
证明
【答案】因为收敛, 即敛, 又
在在
, 且
故
上一致收敛, 所以由阿贝尔判别法知, 上连续, 故
在
上也连续, 即
单调且一致有界, 又级数在
上一致收
收敛
.
二、解答题
5． 求下列幂级数的收敛半径与收敛区域:
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）
又
, 故收敛半径R=l, 收敛区间为（﹣
1, 1）
.
与级数
均发散, 故收敛域为（﹣1
, 1）.
故收敛半径R=2, 收敛区间为（﹣2, 2）. 当
时, 级数
时, 级数
【答案】（1）因（2）因为
收敛, 故收敛域为[﹣2, 2].
（3）记
所以
收敛半径R=4.当
时, 级数为
通项为u n , 则
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故（4）因（5）设
径为
（6）设区间为
当
时, 原级数可化为
对于级数
因为
故级数当
收敛, 又
时, 原级数可化为
因级数（7）设（8）设
则
因此级数在
6． 计算
时收敛
,
时发散
, 从而可得收敛半径
R=l,
收敛区域为[﹣1, 1]. 其中
为圆锥曲面
被平面z=0, z=2所截部分的外侧。
收敛, 而级数
则
发散,
故
时原级数发散, 从而收敛域为故收敛半径
故
时, 原级
收敛, 故
时, 原级数收敛.
收敛域为
则则
, 故级数收敛半径
,
故
从而收敛
即
时级数发散, 故收敛域为（﹣
4,
4）. 故收敛半径为
:收敛域为
故对任取定的x ,
有
故级数的收敛半
数是发散的, 从而收敛域为（﹣1
, 1）.
【答案】由高斯公式, 然后再由球坐标变换得
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