2017年东华大学理学院811高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 计算下列极限：
（1）（2）（3）（4）【答案】（1）（2）（3）（4）
（k 为正整数）。
2． 某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙，且这两种产品的边际成本分别为两种产品的产量分别为x （件）和y （件）6+y（万元/件）。
（Ⅰ）求生产甲、乙两种产品的总成本函数C （x ，y ）（万元）;
（Ⅱ）当总产量为50件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小? 求最小成本; （Ⅲ）求总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。 ，
【答案】（l ）假设生产甲乙两种产品的总成本函数为C （x ，y ）由于边际成本是积分得因此又由于
所以总成本函数
（2）总产量为50件，即
，将
代入到C （x ，y ）中
，故代入求得和
，所以可得
，即
。
。
。
（万元/件）与
则
所以当y=26时，C （y ）取最小值11118，此时x=24。 即当x=24，y=26时，总成本最小此时甲产品的边际成本是
。
（3）当x+y=50且总成本最小时，x=24，y=26。
此意义是要求总产量为50件时，在甲产品24件时。此时要改变一个单位产量时，成本会发生32万元改变。
3． 边长为a 和b 的矩形薄板，与液面成α角斜沉于液体内，长边平行于液面而位于深h 处，设a>b，液体的密度为ρ，试求薄板每面所受的压力。
【答案】如图，记x 为薄板上点到进水面的长边的距离，取x 为积分变量，则x 的变化范围为[0, 6]，对应小区间[x，x+dx]，压强为
，面积为adx ，因此压力为
图
4． 求下列函数f （x ）的
及f ’（0）是否存在：
【答案】（1）
（2）
由
知f ’（0）不存在。
5． 求点M （4，﹣3，5）到各坐标轴的距离.
【答案】点M 到x 轴的距
离
，点M 到z 轴的距离
6． 计算
（1）锥面（2）锥面【答案】（1）由面
在在
1上，2上，
2在
1和
，点M 到y 轴的距
离
，其中是：
及平面z=1所围成的区域的整个边界曲面; 被平面z=0和z=3所截得的部分。
2组成，其中
1为平面
z=1上被圆周所围的部分；
2为锥
xOy 面上的投影区域D xy 均为
。
1
和
因此
（2）由题设，的方程为
，则
又由于是
和z=3消去z 得，故在xOy 面上的投影区域D xy
为
，
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