当前位置：问答库＞考研试题

一、计算题

1． 直径为20cm ，高为80cm 的圆筒内充满压强为10N/cm2的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小一半，问需要作多少功？

【答案】由条件的压强为p （h ）N/m，则

2,

为常数，故

，压力为

。设圆筒内高度减少hm 时蒸汽

，因此做的功为

2． 判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集? 并分别指出它们的聚点所成的点集（称为导集）和边界.

（1） （2） （3） （4）

【答案】（1）集合是开集，无界集；导集为

，边界为

.

（3）集合是开集，区域，无界集；导集为

（4）集合是闭集，有界集；导集为集合本身，边界为

3． 指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：

（1）x=0; （2）3y －1=0; （3）2x －3y －6=0; （4）（5）y ＋z=1; （6）x －2z=0; （7）6x ＋5y －z=0.

第 2 页，共 35 页

; ;

;

. . ，

边界为

，边界为

.

（2）集合既非开集，又非闭集，是有界集；导集为

;

【答案】（l ） ～（7）的平面分别如图1-图7所示. （1）x=0表示yOz 坐标面. （2） 3y －1=0表示过点（4）

且与y 轴垂直的平面.

（3）2x －3y －6=0表示与z 轴平行的平面.

表示过z 轴的平面.

（5）y ＋z=1表示平行于x 轴的平面. （6）x －2z=0表示过y 轴的平面. （7）6x ＋5y －z=0表示过原点的平面

.

图1 图2 图

3

图4 图5 图

6

图7

4． 求抛物线

【答案】由

的渐曲线方程。 , 及

, 知

故抛物线少=2Px的渐屈线方程为

第 3 页，共 35 页

其中y 为参数。或消去参数y 得渐屈线方程为

5． 利用递推公式计算反常积分

【答案】当n ≥1时，故有

6． 设有界区域分

由平面2x+y+2z=2与三个坐标平面围成，为

.

【答案】所求积分满足高斯公式条件，

。

整个表面的外侧，计算曲面积

，所以

二、证明题

7． 证明极限

不存在。

【答案】取两条趋于（0，0）的路径，

第 4 页，共 35 页