2017年东华理工大学理学院818高等代数考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 汽车以20m/s的速度行驶, 刹车后匀减速行驶了50m 停住, 求刹车加速度。可执行下列步骤:
（l ）求微分方程（2）求使（3）求使【答案】由
, 得
, 故
由（2）令
, 得
, 于是所求的解为, 解得
,
,
即
, 解得k=4, 即得刹车加
速度为
的t 值; 的k 值。
, 满足条件
的解;
（3）根据题意,
当
。
2． 设
【答案】
，试按定义求。
3． 利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积:
及
及
及
。
和，于是
因此
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及
；
（含有z 轴的部分）
【答案】（1）解法一：利用直角坐标计算。由
，即在xOy 面上的投影区域D xy 为
消去z ，
解得
（用极坐标）
解法二：用“先重后单”的积分次序求解。 对固定的z ，当0≤z ≤2时，
，于是
（图1）
当2≤z ≤6时，
图
1
（2）解法一：利用球面坐标计算，球面方程分别为
和
，故
（图2）
及圆锥面
的球面坐标
图2
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解法二：用“先重后单”的方法计算
由
于是
和
解得z=a，对固定的z ，当0≤z ≤a 时
，
当0≤z ≤2a 时，
。
（3
）利用柱面坐标计算。曲面
，消去z ，得于是
和
的柱面坐标方程分别为
（图3）。因此
和
，故它们所围的立体在xOy 面上的投影区域为
图3
（4）在直角坐标系中用“先重后单的方法计算。由z=1。
对固定的z ，当0≤z ≤1时，
（图4）。于是
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和
当0≤z ≤时，
可解得