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一、计算题

1． 求函数

的极值。

【答案】解方程组

求得驻点。

又

由判定极值的充分条件知，在点

处，函数取得极小值

求函数

在适合附加条件

下的极大值。 答:条件可表示成，代入，则问题化为求的极大值。由

，得

。又

由一元函数取得极值的充分条件知，

为极大值点，极大值为

2． 求心形线

的全长。

【答案】

3． 求下列参数方程所确定的函数的二阶导数

：

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5.

设

【答案】（1）

（2）

存在且不为零。

（3）（4） 4． 设

，求以a ＋2b 与a －3b 为边的平行四边形的面积.

【答案】根据向量积的几何意义知以a ＋2b 和a －3b 为边的平行四边形的面积

5． 分别按下列条件求平面方程：

； （l ）平行于xOz 面且经过点（2，﹣5，3）； （2）通过z 轴和点（﹣3，1，﹣2）

（3）平行于x 轴且经过两点（4，0，﹣2）和（5，1，7）.

【答案】（l ）所求平面平行于xOz 面，故设所求平面方程为By ＋D=0.将点（2，﹣5，3）代入，得﹣5B ＋D =0，即D=5B.因此，所求平面方程为By ＋5B=0，即y ＋5=0.

（2）所求平面过z 轴，故设所求平面方程为Ax ＋By=0.将点（﹣3，1，﹣2）代入，得﹣3A ＋B=0，即B=3A.因此，所求平面方程为Ax ＋3Ay=0，即x ＋3y=0.

（3）所求平面平行于x 轴，故设所求平面方程为By ＋Cz ＋D=0.将点（4，0，﹣2）及（5，1，7）分别代入方程得﹣2C ＋D=0及B ＋7C ＋D=0.解得

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因此，所求平面方程为

即

9y －z －2=0

6． 设

存在，求下列函数的二阶导数

。

【答案】

二、证明题

7． 验证函数

【答案】因为

故

8． 对函数

【答案】

函数

内

, 使由由

可得,

故

在区间

,

故

因此, 拉格朗Et 中值定理对函

数

上是正确的。

在区间

上连续,

在

内可导,

且在

及

在区间

上验证柯西中值定理的正确性。

（

是常数）满足关系式:

。

满足柯西中值定理条件,

从而至少存在一点

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