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一、证明题

1． 证明:若

为任何闭集, f :

且存在正实数

. , 因为f :

, 所以必有

于是对任意的正整数n , P, 有

即

当n>N时, 对任给正整数P , 有

, 又因为D 为闭集, 所以

由于

有

所以f 在D 上任何点x 0处连续, 从而

故

为f 的不动点.

的惟一性若也就是和

在

为, 的另外一个不动点, 则

即

2． 设函数

. 所以f 在D 上存在惟一的不动点.

内可积, 证明:对

内任意分割

有

【答案】由积分的定义知

且

（2）不动点

, 故由定理可知数列

收敛,

设

, 使得对任何

满足

则在D 中存在, 的惟一不动点即【答案】（1）不动点的存在性. 下面验证

满足柯西条件, 首先, 有

由于

可积, 所以

所以

所以原命题成立.

3． 设

证明:当

时, u ,

v 可以用来作为曲线坐标,

和

并

解出x

, y

作为u , v 的函数；画出xy 平面上u=l, v=2所对应的坐标曲线；计算验证它们互为倒数.

【答案】

所以

故当

时,

都连续且

由反函数组定理知, 存在函数组x=x

（u , v ）

, y=y

（u , v ）, 从而u , v 可以用来作为曲线坐标.

由

解得

u=l, v=2分别对应xy 平面上坐标曲线y=tanx, y=2sinx; 如图1、2所示

图1 图2

因

而前面已算得

即

与

互为倒数

.

4． 设f

（x ）在[a, b]上二阶连续可导, 证明:

【答案】记

.

取

,

由微分中值定理, 有

t

即

于是

, 有

对上式两边, 分别关于

x 1和x 2

在

和

上积分, 可得

即

进而有

这就是所谓的内插不等式.

二、解答题

5． 计算第二型曲面积分

【答案】显然

因球面的外侧单位法向量为

及