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一、证明题

1． 证明:

（1）方程. （2）方程【答案】（1）令的开口向上, 于是不同的实根

得

（2）令

, 并且

根据罗尔中值定理, 存在为

是奇次方程

（ii ）设n 为正奇数. 如果方程在根 2． 设

【答案】记

. 已知

证明级数

又

所以

3． 应用

（1）（2）

【答案】 （1）证法一:由于所以

第 2 页，共 27 页

（这里c 为常数）在区间内不可能有两个不同的实根；

（n 为正整数, p 、q 为实数）当n 为偶数时至多有两个实根；

, 则,

则, 则

, 使得

, 但这是不可能的. 因

.

故方程

, 它在实数集R

上有且仅有一个实根

. 当

由方程

得

, 抛物线

, 使

时,

,

使得

当n 为奇数时至多有三个实根.

在区间（－1, 1）内恒为负. 用反证法证明原命题. 如果在区间[0, 1]内有两个

由罗尔中值定理知, 存在

时, 显然成立; 当

在区间（0, 1）内不可能有两个不同的实根. 有三个以上的实根,

则存在实数

不妨设

, 但这是不可能的. 所以方程（i ）设n 为正偶数.

如果方程

当n 为偶数时至多有两个实根.

有四个以上不同的实根, 则根据罗尔中值定理, 存

但这是不可能的.

因为

是偶次方程

当n 为奇数时至多有三个实

,

使得

并且

, 它在实数集R 上最多只有两个实根. 故方程

是收敛的.

为单调递减数列, 故由莱布尼茨判别法可知原级数收敛.

证明:

在任何[c, d]上（c ＞o ） —致收敛,

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另外

所以

证法二:

（2）由于

在任何[c, d]上（c ＞o ） —致收敛

, 所以

另外

所以

4． 设

【答案】由

知

且

又因为

减有下界的. 所以, 数列两边求极限, 得到

收敛. 令

解得

由

知

即

数列

是单调递

证明:数列

收敛, 且其极限为

. 对（极限保号性）

舍去负根, 因此,

二、解答题

5． 设

【答案】

这里max 表示取最大值函数, 求的原函数为

. 当

时, 有

当

时, 有

的原函数.

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所以

6． 设球体.

的原函数为.

上各点的密度等于该点到坐标原点的距离, 求这球体的质量.

【答案】根据题意所求球体的质量为

应用球坐标变换

于是

应用

7．

求下列极限

:

）1（

【答案】（1）

（2） .

（2）

8． 设函数f 在点x 0存在左右导数, 试证f 在点x 0连续.

【答案】因为f 在点x 0的左右导数当于是,

时,

, 即

; 当

时,

, 故

f （x ）在点x 0连续.

都存在, 所以由有限增量公式:

9． 应用函数的单调性证明下列不等式:

（1）（2）（3）

【答案】（1）令所以f （x ）在

内严格递增.

第 4 页

，共 27 页

;

. 则