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一、证明题

1． 设

（1）

（2）计算重积分【答案】（1）令S 为由对称性显然可得

而

所以

（2）利用（1）的结果得

2． 求f （x ）=x3在区间

上的傅里叶级数展开式, 并由此证明:

【答案】因为f （x ））在

上可积, 所以可展开成傅里叶级数. 而

故

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, 证明:

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显然, 当

时, f （

x ） =x连续, 故

当x=0时, 级数收敛于于是由式（1）可得

, 即

.

. 再在式（1）中,

令

3．

证明:

若f 在[a, b]上连续, 且对任何

【答案】设题设矛盾. 故

. 设, 即f 在

上恒正.

且（或

异号, 由根的存在定理知, 在区间

, 则f 在, 由题设知

上恒正或恒负. . 假如

, 那么

与. 这与

, 可得

3

）内至少存在一点, 使得

时同理可证f （x ）恒负.

二、解答题

4． 设

f （x ）在（x ）

在点（x , f （x

））的切线在x 轴上的截距, 试求极限

【答案】

利用切线方程求出

.. 将f （u ）在x=0作泰勒展开:

（在0与u 之间）.

（这里利用了当

时,

这一事实. 这一点不难用洛必达法则得到）. 于是

对

5． （1）计算积分

（2）设z=f （x , y）在闭正方形

,

证明存在

, 使得

;

上连续, 且满足下列条件:

.

和

使用洛必达法则, 可得

. 故原极限=

上二次连续可微,

且

. 又设u （

x ）表示曲线y=f

, 这里A 是（1）中的积分值.

【答案】（1）如图所示:

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图

（2）证明:由所以

由积分中值定理知,

存在

, 使

故

6． 求出函数

在（1

, 1）点邻域带皮亚诺余项的泰勒公式.

其中

7． 试问集合

与集合

是否相同？

【答案】给出的两个集合是不相同的, 第一个集合挖去了两条线段

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,

知,

,

【答案】利用一元函数的泰勒公式, 有

.