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一、计算题

1． 计算近似值:

（1）（2）

【答案】（1）设

根据

则

因而

2． 设数

在[a, b]上不仅收敛, 而且一致收敛. 【答案】级数可记为由每一个

又x=a及x=b时

,

3． 计算积分

设

为收敛于零的函数列,

故

则

在[a, b] —致有界.

又对每一个

为[a, b]上正的递减且收敛于零的函数列, 每一个

都是[a, b]上的单调函数, 则级

（2）设

都是[a, b]上的单调函数可得

是单调的, 由狄利克雷判别法可知, 原级数在[a, b]上一致收敛, 从而也必收敛.

【答案】却有极限

的原函数不是初等函数, 且

将

在0与1没定义,

在0与1作连续延拓, 即

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从而己知而函数

在区间上连续.

.

在闭的矩形区域

Q=

上连续,

于是

4． 计算曲面积分

个坐标面所围的第一卦限部分的外侧。

【答案】由高斯公式得

注:本题还可以用斯托克斯公式做。

其中S 为由

,

z=h（h , R>0）及三

二、证明题

5． 设

【答案】记

. 已知

证明级数

又

所以

6． 设

（1）若（2）若【答案】（1）

, 由条件得

, 即

是收敛的.

为单调递减数列, 故由莱布尼茨判别法可知原级数收敛.

, 求证:

, 则f 为单射, g 为满射;

, 则f 与g 互为反函数.

使得

, 故g 为满射; 若

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则由条件推出

7． 设f 在[-a, a]上可积. 证明:

（1）若f 为奇函数, 则（2）若f 为偶函数, 则【答案】因为于是

即f 为单射.

对右边第一个积分作代换x=—t , 则得

（1）若f （X ）为奇函数, 则（2）若f （x ）为偶函数, 则

,

故, 故

为D 内任一点, 证

8． 设平面区域D 在x 轴和y 轴的投影长度分别为L x 和L y , D 的面积为明

（1）（2）因此（1）

（2）考虑

令

则所以

由于

, 因此

. 所以

, 同理可证

,

【答案】设D 在x 轴和y 轴上的投影区间分别为[a, b]和[c, d].

并且

, 记

, 得到