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一、证明题

1． 证明二重积分中值定理.

【答案】中值定理:若f 为有界闭域D 上的连续函数, 则存在

因为f 在D 上连续, 所以f 在D 上一定存在最大值M 与最小值m , 对D 中一切点有:

可知:

即

再由定理知, 存在

2． 证明:函数

有无穷多个极大值, 但无极小值. 【答案】

令

. 解方程组可得无穷多个驻点

此时

故f （x , y）在驻点当n 为奇数时, 驻点为f （x , y）在 3． 设

, 在

上有连续导数, 且

当x 充分大时, 有又由

知

在

在

内有且仅有一个零点.

上严格单调递增, 所以

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, 使得

,

, 使得,

.

当n 为偶数时, 驻点为

处取得极大值, 极大值为

, 此时

处无极值. 综上知, f （x , y ）有无穷多个极大值, 但无极小值.

, 试证:

在

内仅有一个零点.

【答案】对任意

, 所以由连续函数的零点存在定理知, 存在

4． 证明:设

在

内收敛, 若

也收敛, 则

（注意:这里不管

在x=R是否收敛）, 应用这个结果证明:

【答案】因

在

内收敛, 所以有

又x=R时, 级数

收敛, 从而由定理知

的和函数在x=R处左连续, 从而

又因为

在

内收敛, 且级数

收敛, 所以

二、解答题

5． 对n 次多项式进行因式分解

从某种意义上说, 这也是一个反函数问题, 因为多项式的每个系数都是它的, n 个根的已知函数, 即

要得到用系数表示的根, 即

试对n=2与n=3两种情况, 证明:当方程

无重根时, 函数组①存在反函数组②.

因为

无重根, 所以

所以由定理可知函数组①存在反函数组②. （2）当n=3时, 由于

所以

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【答案】（1）当n=2时, 由韦达定理（根与系数的关系）有

又

所以由定理可知函数组①存在反函数组②. 6． 设

试证:【答案】

其中

因为

.

, 代入①式, 得

在

7． 计算三重积分

, 其中是由曲面

与. 对积分

单调递减.

在亦在

上一阶可微, 且

上单调递减.

在

上单调递减,

所围的区域.

采用“先二后一”的方

【答案】由于积分区域关于yOz 平面对称, 所以法, 则有

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