2017年南开大学统计研究院845高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、计算题
1． 用积分方法证明图中球缺的体积为
图
【答案】该立体可看作曲线此体积为
2．
设
是
上从
取得最大值。
【答案】设与则
所围区域为D ，如图所示，在D 上应用格林公式，记
到
的一段曲线，求a 的值，
使曲线积分
，
和x=0所围成的图形绕Y 轴旋转所得，因
令故
。
上的点，使在该点的切线平行于平面
，设所求点对应的参数为
。已知平面的法向量为
，解得
和
，于是所求点为
。
，
。
得唯一驻点
，由于
，所以
为极大值，即最大值，
3． 求出曲线
【答案】因为量可取为即 4． 设
【答案】令
，于是曲线在该点处的切向
，由切线与平面平行，得
或
，其中f 具有二阶导数，求
，则
。记
。
，
5． 根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性：
【答案】设级数的部分和为S n 。 （1）因为
所以根据定义可知级数（2）由于
发散。
从而
所以根据定义可知级数收敛。 （3）由于
从而
因为当（4）
时，的极限不存在，所以S n 的极限不存在，即级数发散。
因
故级数发散。