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一、计算题

1． 方程

【答案】令②F （0, 0）=0;

③④

2． 求下列函数的导数:

【答案】（1）（2）

（3）（4）（5）（6）（7）

（8）（9）（10）

（11）

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能否在原点的某邻域内确定隐函数y=f（x ）或x=g（y ）?

, 则有

①F （x , y ）在原点的某邻域内连续；

均在上述邻域内连续；

在原点的某邻域内可确定隐函数y=f（x ）.

故由隐函数存在惟一性定理知, 方程

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（12）

3． 求极限

【答案】应用泰勒展开式得

原极限

4． 设f （

x ）在[a, b]上连续, 且有惟一最小值点

x 0. 若

【答案】假设仍记为

, 使

则

在.

显然

.

, 满足于是

,

中可选取子列

且

由于这个子列有界

, 由致密性定理

, 可从它中再选取一个收敛子列

,

这与最小值点的惟一性矛盾.

5． 设f 为连续可微函数. 试求

【答案】

由于

6． 据理回

【答案】

（1）何种函数具有“任意下和等于任意上和”的性质？

（2）对于可积函数, 若“所有下和（或上和）都相等”, 是否仍有（2）的结论？

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并用此结果求

, 所以

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答:（1）常量函数是具有“任意下和等于任意上和”的惟一函数. 事实上, 常量函数显然具有此性质, 反之, 设f （x ）具有此性质. 考虑分割T :

, 有

又S （T ）=s（T ）, 所以M （b —a ）=m（b —a ）, 得M=m, 故f （x ）=常数. （2）不成立例如

7． 求由曲线

与坐标轴所围图形的面积. 在[0, 1]上,

都有s （T ）=0, 但, f （x ）不是常数.

【答案】如图所示, 曲线与x 轴、y 轴的交点为（a , 0）和（0, b ）所围图形的面积为

图

8． 求函数可微性.

【答案】

若

在（0, 0）点可微, 则

且

而

当

时,

从而

所以

在（0, 0）不可微.

在原点的偏导数

与

, 并考察

在（0, 0）的

二、证明题

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