当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设f （x ）在[a, b]上连续, 在（a , b ）内除仅有的一个点外都可导. 求证:, 使得

【答案】设函数f （x

）在点处不可导. 分别在（a , d ）上和在（d , b ）上对f （x ）用微分中值定理,

可得

和

其中

由此可得到

其中

2． 证明函数

在区间

上不一致连续, 但是对于任意

则

上不一致连续.

则存在

取但是存在从而

时,

在区间当

上不一致连续. 时, 有

在

上一致连续.

和

. 将以上两个等式相加, 可得

,

【答案】（1）方法一取从而

在区间

方法二 取虽然满足使得（2）当

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

取即

3． 设

【答案】

在, 证明时, 有

上一致连续.

二、解答题

4． 若对任何充分小的

令

, f 在, 则

, 且

上连续. 能否由此推出f 在（a , b）内连续.

是f 的间断点,

于是, x 0是f

在区间

【答案】能. 用反证法. 假如f 在（a , b）内不连续, 则必有某一点上的一个间断点. 这与题设矛盾, 故f

在（a , b

）内连续.

5．

求出椭球

在第一卦限中的切平面与三个坐标面所成四面体的最小体积.

切平面在坐标轴上的截距分别为:

则椭球面在第一卦限部分上任一点处的切平面与三个坐标面围成的四面体体积为

故本题是求函数

在条件设令

下的最小值.

【答案】

由几何学知, 最小体积存在. 椭球面上任一点（x , y , z ）处的切平面方程为

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

解得

故

6． 对下列各函数计算

【答案】（1）（2）（3）

, 因此,

因此因此

, .

,

7． 图所示为河道某一截面图. 试由测得数据用抛物线法求截面面积

.

图

【答案】由定积分近似计算抛物线法公式得到

8． 求下列函数的幂级数展开式:

（1）（2）（3）

【答案】（1）因

故

（2）故