2018年广西民族大学理学院601数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 设f （x ）是周期为
【答案】设
由条件知由费耶定理，知, 故
2． 求由曲线
,
，利用极限的性质，得一致收敛于f （x ）所以，
收敛于f （x ）. 所围图形的面积.
的连续函数，且其傅里叶级数
处处收敛，
求证这个傅里叶级数处处收敛到f （x ）.
【答案】如图所示, 所围图形的面积为
图
3． 设
试求【答案】当
时, 由
知
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当
时, 有
4． 设
求证:f （x
）在【答案】
由
,
且
上一致连续.
推知
. , 使得当
,
时,
有
又由, 推知
使得当时,
有
,
所以f （x ）在
,
上一致连续,
于是
另一方面,
因为函数
使得
这样, 当若若若或
且
由（1）式得, , 由（2）式得
,
则有
时
,
由（3）式知
, 根据定义, 即得f
（x ）在（-）上一致连续.
5．
讨论在什么条件下, 函数
在点x=0可微.
【答案】由定义, 需要计算
当x>0时, 当x<0
时, 所以当且仅当当
时, 对充分小的
或
时, , 恒有
; .
存在且为0.
, 故对任意的, 都有
.
, 从而.
总之, 当时, f （X ）在点x=0可微且
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6． 判断积分
的收敛性, 其中p 和q 是参数.
【答案】（1）当
时,
易知:当
时,
当
时,
当
时,
当
时,
所以不论（2）当由当
时,
的前提下讨论则由时,
收敛;
当
时,
发散.
取何值, 一定有时, 不妨设
对于无穷积分知:当发散.
时,
发散.
收敛;
下面在若若当
的收敛性.
为正常积分, 收敛.
知: