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一、证明题

1． 证明下列结论:

（1）设f （x ）在点x=0连续, 且对在则f （x ）

在则f

（x ）在【答案】（1）由由f （x ）在x=0处连续, 所以

故f （x ）在点

连续, 从而f （x ）在

, 于是对

令同理由（3）由

即f （X ）定号, 从而可知对

续, 利用（1）的结论知

2． 设函数和在

在得

对

得A=A+B,

即

,

令

有

得B=A+B, 即, 因为

, 于是都成立.

,

由已知得

上连续, 从而f （x ）在

内任意分割

有

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满足f （x+y）=f（x ）+f（y ）, 则f （x ）

满足f （x+y）=f（x ）+f（y ）,

上连续;

（2）设f （x ）在

上连续;

, 且对

满足f （x+y）=f（x ）f （y ）,

上单调, 且对

（3）设f （x ）在点x=0连续,

上连续.

, 取x=y=0得f （0）=0.对

, 又

上连续. 上单调, 所以

和

当时,

（2）易知f （0）=0.因为f （x ）在都存在, 设

. 从而

上连续.

, 且f （X ）与f （-X ）同号,

在x=0处连上连续.

, 所以f （0）=l.对

在x=0处连续, 由（1）的结论知f （X ）在

两边取对数得

内可积, 证明:对

【答案】由积分的定义知

且

由于

可积, 所以

所以

所以原命题成立.

二、解答题

3． 应用拉格朗日乘数法, 求下列函数的条件极值:

（1）（2）

（3）

【答案】（1）设

,

若

, 若x ＋7－1=0;

若

（其中x , y , z , t>0, f>0）;

对L 求偏导数, 并令它们都等于0, 则令

解之得

由于当（2）设

时

,

故函数必在惟一稳定点处取得极小值, 极小值

令

解方程组得x=y=z=t=c

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由于当n 个正数的积一定时, 其和必有最小值, 故f 一定在惟一稳定点（c , c , c , c ）处取得最小值也是极小值, 所以极小值f （c , c , c , c ）=4c.

（3）设

令

解方程组得x , y , z 的六组值为:

又

因此极小值

在有界闭集上连续, 故有最值.

极大值

4． 求心形线

【答案】

的切线与切点向径之间的夹角.

由半角公式

得

. 故当

时,

; 当

时,

5． 设f 是一元函数, 试问应对f 提出什么条件, 方程2f （xy ）=f（x ）＋f （y ）在点（1, 1）的邻域内就能确定出惟一的Y 为z 的函数？

【答案】设且

因此只需

在x=﹣l 的某邻域内连续, 则F , F x , F y 在（1, 1）的某邻域内连续. 所以, 当

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, 则

在