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一、计算题

1． 设

求

.

【答案】

2． 讨论函数

（1）在x=0点是否可导？

（2）是否存在x=0的一个邻域, 使f 在该邻域内单调？ 【答案】（1）

故f （x ）在x=0可导. （2）当

时,

对一切正整数k 有

, x=0的任何邻域内都不单调.

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. 因为, 所以在

3． 试作下列函数的图像:

（1）（2）（3）（4）（5）

【答案】各函数的图像如图1〜图5所示

.

图1 图2 图3

4． 设有力向

图4 图5

, 试求单位质量M , 沿椭圆

移动一周（从z 轴正向看去为逆时针方向时）, 力F 所作的功. 【答案】此即为求曲线积分

由Stokes 公式,

其中S 为C 围成的平面z=4上椭圆面, 方向为上侧, 由于

所以

令所以

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:平面, 故

, 则,

且

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5． 求下列函数的极值:

【答案】（1）由

, 即

,

得f （x ）的稳定点为

, .

和

, 因为

,

, ,

,

由极值的第三充分条件知

, f （

x ）在

x=0处不取极值.

因为由极值的第二充分条件知, f （x

）在（2）

处取极大值, 极大值为

由

； 因为（3）

由（1） =0;

因（4）

由

6． 求极限

【答案】令

（k 为自然数）.

, 由

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得稳定点为. 因.

故x=l

是f （x ）的极大值点, 极大值为

, 故x=－1是f （x ）的极小值点, 极小值为

得稳定点为x=1和

, 故

. 因, 故x=1是

f （

x ）的极小值点,

极小值为f

.

是f （x ）的极大值点, 极大值为

得稳定点为x=1, 因

, 故是

f （

x ）的极大值点, 极大值为