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一、证明题

1． 设f （x ）在[0, 1]上连续, 在（0, 1）内可导, 且

试证:（1）【答案】（1）令（2）将结论中换成x

:即

亦即

,

或

由此可见, 令

, 对F （x ）在

上应用罗尔定理即可.

的r －1重实根.

,

2． 设p （x ）为多项式, 为p （x ） =0的r 重实根. 证明必定是

【答案】因为为于是

的r －1重实根

, 则在（a , b ）内至少存在两点x 1, x 2,

, 这时f （x ）在（a , b ）内是否至少有三个零点？

, 则f （x ）在（a , b ）内恒正或恒负,

从而

.

时, f （x ）>0, 当

则当

且

时有g （x ）<0, 从而

, 但

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.

使

, 使

; （2）对任意实数必存在. 对F （x ）在

上应用根的存在定理即可.

的r 重实根, 所以其中q （x ）为多项式, 且

又因

3． 证明:若f （x ）在[a, b]上连续, 且使得

. 又若

【答案】利用反证法.

若

（或<0）,

这与令

矛盾. 所以

, 故是

使得

若f （x ）只有一个零点x 1, 不妨设当

时f （x ）<0.

又当不妨设再令

4． 求证:

（1）（2）

时f （X ）>0,

使得

,

时f （x ）>0.

. 时, 若f （X ）只有两个零点

时

, 同样引出矛盾. 故

严格递增, 且

（*）

【答案】（1）已知序列

又设.

显然.

再根据n+2项的平均值不等式, 有

（**）

联合（*）与（**）式即得

（2）记

, 由第（1）小题结论, 有

再由第（1）小题结论, 有

即

有下界, 从而极限

存在.

5． 设二元函数f （x , y ）在正方形区域[0, 1]X[0, 1]上连续. 记J=[0, 1].

（1）试比较【答案】 （1

）

由y 的任意性可知

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与

，

有

的大小并证明之；

成立的（你认为最好的）充分条件.

时于任意的x 都成立，

则

（2）给出并证明使等式

显然

在[0, 1]上连续,

，使

故

二、解答题

6． （1）叙述无界函数的定义;

（2）证明

为

上的无界函数;

上的无界函数.

使得

（3）举出函数f 的例子, 使f 为闭区间则称函数f 为D 上的无界函数.

（2）对任意正数M , 由于是, 取

无界函数.

（3）设 7． 求

【答案】设当又当实根;

当

时

,

, 于是f （x

）在

时, 时,

的实根到三位有效数字

, 则

, 于是f （x ）在

, 所以方程在

,

于是在

显然,

则

得

并且

【答案】（1）设f 为定义在D 上的函数. 若对于任意正数M , 都存在

故是上的

为上的无界函数

.

上严格递增;

存在惟一实根;

所以方程在[0, 2]上没有

所以方程在,

该实根属于

上严格递减. 因为

上严格递增.

因为

内.

由于

上没有实根, 因此,

方程的惟一实根在在区间（－2, 0）内,

故用牛顿切线法求近似根应取

. 迭代过程如下：

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