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一、证明题

1． 设

, 证明函数

在D 上不可积.

【答案】对D 上任意分割

, 若在每个取点

若在每个

取点在（当 2． 设

为

,

使

为非有理点,

则

因此

的极限不存

, 使

. 皆为有理数, 则

时）. 即f （x , y ）在D 上不可积.

内的有界函数. 证明:

在

内一致连续当且仅当

其中

【答案】因为在内有界, 则存在使得. 对任意利

用拉格朗日中值定理, 得

其中介于

和

之间, 显然有

于是有

由此可知

连续当且仅当,

3． 证明:

【答案】因为续. 取

设是任一正数, 则

由

,

得, 但

. 于是, 无

论

故

多么小, 总存在两

点在

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在内一致连续当且仅当

结论得证.

在内一致连续

,

在内一致

在[a, b]上一致连续, 但在

在闭区间

上不一致连续.

上一致连

上连续, 由一致连续性定理知, f （x ）在

满

足

上不一致连续.

4． 设函数列

和【答案】使得

因当令不妨设

有

在[a, b]上可导, 且存在M>0, 使得对任意正整数n

成立. 证明:如果级数

, 取正整数m 充分大, 将[a, b]m等分:

收敛, 存在正整数

,

, 对任意正整数p 都成立, 当n>N时,

, 于是

.

在[a, b]上收敛, 则必一致收敛.

时有

从而

在[a, b]上一致收敛.

二、解答题

5． 求

【答案】设当又当实根;

当

时

,

, 于是f （x

）在

上严格递增.

因为

内.

由于

故用牛顿切线法求近似根应取

. 迭代过程如下：

因此, 取

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的实根到三位有效数字

, 则

, 于是f （x ）在

, 所以方程在

时,

,

于是在

.

上严格递增;

存在惟一实根;

所以方程在[0, 2]上没有

所以方程在,

该实根属于

上严格递减. 因为

时,

上没有实根, 因此,

方程的惟一实根在在区间（－2, 0）内,

作为近似根.

6． 求下列极限:

（1）（2）（3）（4）

【答案】（1）由可得

于是

而（2）当

由迫敛性得时,

于是,

又因为

故由迫敛性得:

（3）因为因而有（4）令

所以

于是又因

则有

于是

7． 验证

【答案】因为

所以

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由此可知,

, 由迫敛性可得

因为是|x|在

所以

上的一个原函数.