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一、证明题

1． 设

当当即

. 求证:

时,

时, 结果显然成立.

时, 利用一个显然成立的不等式:

可导出:

有

因此, 取因此,

2． 证明级数

【答案】“”:取

收敛的充要条件是:任给

, 由级数

, 存在某正整数N , 对一切n>N时, 总有

收敛, 则存在正整数N 1,

, 则当n>N时有

, 由已知条件, 存在正整数N ,

于是

及任意正整数P 有

由柯西收敛准则知级数

3． 已知

【答案】

在区间上一致连续. 上显然一致连续.

【答案】当

设

. 于是当

在

时, 有

, 令, 则

。

上一致连续.

有

有

收敛.

试证

4． 设f （x ）在[a, b]上连续, 在（a , b ）内二阶可导, 证明:

, 使

【答案】记, 则过三点的抛物线为

令而

, 则F （a ）=F（c ）=f（6）=0, 故存在使

又

由

立即可得出结论.

二、解答题

5． 计算下列第二型曲面积分

（1）

方体表面并取外侧为正向;

（2）取外侧正向;

（3）侧为正向;

（4）（5）

【答案】（1）因

所以原积分

.

其中S 是球面

的上半部分并取外侧为正向;

, 其中S 是球面

并取外侧为正向.

其中S 是由平面x=y=z=0和x+y+z=1所围的四面体表面并取外

其中S 是以原点为中心, 边长为2的立方体表面并, 其中S 为由x=y=z=0, x=y=z=a六个平面所围的立

（2）由对称性知只需计算其中之一即可.

由于

因此原积分=3× 8=24. （3）由对称性知,

（4）作球坐标变换, 令

►则

（5）由轮换对称知只计算

, 由

, 利用极坐标变换可得

因此原式

=

6． 研宄函数

【答案】设由于当

又设因为

连续, 则

时

在

的连续性及可微性.

且上连续.

收敛, 故

在

上一致收敛,

, 故

对x 求导得,

一致有界,

单调递减趋于0,

在

所以由狄利克雷判别法知

故

在

上可微.

上一致收敛,