2017年厦门大学海洋与地球学院838普通物理学(海洋与地球学院)之高等数学考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 已知F f x ）（x ）是（的一个原函数，而F （x ）是微分方程的解，试将f （x ）展开成x 的幂级数，并求
【答案】由当
时，
知由
，积分得
得
故
而
故
于是
2． 设平面区域D 由直线x=3y，y=3x与x+y=8围成，计算
【答案】由分，如图所示，则
得
，由
得
和
两部
的值。
C 为任意常数。
于是
满足初始条件
，直线x=2将区域D 分为
图
3． 利用斯托克斯公式把曲面积分如下：
（1）（2
）
，为上半球面
为立方体
的上侧，n 是的单位法向量；
的
，从z 轴正向看去取逆时针向
，
化为曲线积分，并计算积分值，其中A , 及n 分别
表面外侧去掉xOy 面上的那个底面，n 是的单位法向量。
【答案】（1）的正向边界曲线为xOy 面上的圆周的参数方程为由斯托克斯公式
t 从0变到2π。
（2）的边界曲线为xOy 面上由直线轴正向看去取逆时针向，由斯托克斯公式
所围成的正方形的边界，从z
4． 己知均匀矩形板（面密度为常量）的长和宽分别为b 和h ，计算此矩形板对于通过其形心
且分别与一边平行的两轴的转动惯量。
图
【答案】建立如图的坐标系，使原点o 为矩形板的形心，x 轴和y 轴分别平行于矩形的两边，则所求的转动惯量为
5． 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小:
，其中积分区域D 是由x 轴、y 轴与直线x+y=1
所围成；
，其中积分区域D 是由圆周
围成；
，，，其中D 是三角形闭区域，三顶点分别为（1, 0）（1, 1）
；
（2, 0）
，其中
【答案】（1）在积分区域D 上，
，故有
根据二重积分的性质4，可得
（2）由于积分区域D 位于半平
面
。从而
所
。
内，故在D 上
有
。
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